G.M. Historias
   Las abejas y las matemáticas.
   José Carrión Beltran.

Analicemos, brevemente, el comportamiento de algunos polígonos. Con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares pondemos enlosar una superficie.
  • Triángulo

  •  Lado = 4 u
     Perímetro = 12 u
     Área = 6,928 u 2
  • Cuadrado

  •  Lado = 3 u
     Perímetro = 12 u
     Área = 9 u 2
  • Hexágono

  •  Lado = 2 u
     Perímetro = 12 u
     Área = 10,392 u 2
  • Con el mismo perímetro, la mayor superficie se recubre con un hexágono
  • Las abejas ..., en virtud de una cierta intuición geométrica ..., saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.
    Pappus de Alejandría

    Las abejas construyen sus panales como prismas hexagonales regulares apuntados en el fondo por tres rombos inclinados respecto a la horizontal un ángulo determinado para que, almacenando la misma cantidad de miel, tengan la mínima cantidad de materia (cera); es decir, el área sea mínima.
    Este problema de las abejas ya admiró a los clásicos y fue estudiado por importantes matemáticos, entre otros Colin McLaurin (1698-1746) y Gabriel Cramer (1704-1752) obteniendo para dicha inclinación valores de 70º 32´ y 70º 31´ respectivamente.


    Observando la figura vemos que la abeja construye el rombo GBHF de modo que el volumen que quita del prisma, el GABF, equivale al que añade, el HBJF. Pero aunque el volumen del panal equivale al del prisma hexagonal, sin embargo el área total del panal es la menor posible para tal propósito; si la abeja hubiese dado al panal la forma de prisma, éste no habría perdido capacidad, pero habría sido necesaria más cera para su construcción. En la naturaleza rige la ley del mínimo/máximo.
    Vamos a calcular el ángulo x de inclinación del rombo que hace mínima dicha área.

    Identidades   

  • AB = a arista básica del prisma, que por tratarse de un problema afín se puede sustituir por la unidad de longitud; luego lo haremos)
  • x = HKJ ángulo de inclinación que deseamos determinar
  • KJ = a/2 apotema del triángulo equilátero BFD
  • HJ = KJ.tang(x) = (a/2).tang(x) = AG por simetría
  • HG = 2.HK =a.sec(x)
  • HJ = KJ.tang(x) = (a/2).tang(x) = AG por simetría
  • lado del triángulo BDF
  • HK = KJ.sec(x) = (a/2).sec(x)

  • El área que estudiamos será mínima cuando sea máxima la diferencia
    y = (ABF) + (BFJ) + (ABG) + (AFG) - (GBHF)
    Tendremos:
  • Haciendo a = 1 se tiene:
    derivando
    Igualando a 0 y aplicando el criterio de la derivada segunda se obtiene finalmente
    El doble de dicho ángulo es 70º 31´ 43.606"

    Veamos otro camino para la resolución del problema
    Imaginemos las colmenas compuestas por tres listones romboidales como indica la figura de la izquierda y consideremos uno de estos listones, con el que vamos a trabajar, y que se presenta en la Fig.2. Supongamos, para simplificar, que el lado del hexágono es 1. Es evidente que al mover el rombo sobre la diagonal AB (fig.2) el volumen del liston romboidal no varía, pues el volumen que se aumenta al desplazarse v´ hacia arriba (extremo superior diagonal azul) queda compensado al desplazarse m´ (extremo inferior diagonal azul) en sentido contrario. Por tanto, el volumen permanece invariable al realizar esta operación. Supongamos, por tanto la diagona AB fija. Como el lado del hexágono hemos admitido que vale 1, el valor de dicha diagonal es 3 1/2. Deseamos calcular el ángulo alfa de forma que la superficie sea mínima.
    Fig.1 Fig.2 Fig.3
    Nota   En las Fig.2 y Fig.3 la planta está dibujada completa, pero para mayor claridad en el alzado sólo se ha dibujado el listón romboidal considerado

    (Fig.4)

    (fig.5)
    Sea L la longitud de la diagonal (diagonal azul) y x la proyección de la misma (Fig.3).
    Podemos establecer la siguientes igualdad
    L 2 = (2x) 2 + 1   (Fig.4)
    La superficie lateral de la célula está formada por seis trapecios. El área de uno de ellos es (Fig.5)
    y por tres rombos, siendo el área de uno de ellos por lo que la superficie de la célula es A T = 6.A 1 + 6.A 2. Efectuando operaciones y sustituyendo los valores obtenidos anteriormente resulta
    Derivando e igualando a 0 tendremos
    y de ahí obtenemos x 2 = 0.125. LLevando este valor a L, tendremos Relacionando, por último, ambas diagonales.
    de donde por lo que el valor de alfa resulta 70º 31´ 43.606´´


      Las abejas y las matemáticas