G.M. Historias
Dados y Monedas
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
   << Operaciones con sucesos     >>Ley de Laplace

Sea un determinado experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E y P(E) el espacio de sucesos del mismo. Sea p la aplicación con dominio en P(E) e imagen en R
con las siguientes condiciones

  Axioma AI   
  Axioma AII   p(Suceso seguro) = 1
  Axioma AIII  Si A y B son dos sucesos imcompatibles del experimento aleatorio, (A y B) = Ø, entonces p(A o B) = p(A) + p(B)

Mediante AI asignamos a todo suceso del espacio de sucesos un número real comprendido entre 0 y 1; al suceso seguro se le asigna el valor de 1 (mediante AII). Podríamos haber elegido como axioma AII el dual del elegido, es decir p(suceso imposible) = 0. Más adelante veremos que ambos axiomas son intercambiables (Propiedad 1).
Mediante AIII se le asigna a la probabilidad de la suma de dos sucesos incompatibles la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. Este es un axioma bastante "aceptable" como sería aceptable en una defición axiomática de áreas considerar que el área de la suma de dos superficies disjuntas es la suma de cada una de ellas.


Justificación de algunas propiedades

Propiedad 1   

p(Suceso imposible) = 0   es decir p(Ø) = 0

Como los sucesos Ø y E son incompatibles y además (Ø o E) = E resulta
    p(E) = p(Ø o E) = 1    por   Axioma AII  
    p(Ø o E) = p(Ø) + p(E)    por   Axioma AIII  

    De ambas igualdades resulta

    1 = p(Ø) + p(E) = p(Ø) + 1 => p(Ø) = 0
Propiedad 2    La probabilidad de un suceso más la probabilidad de su complementario es la unidad.
p(A) + p(no A) = 1
Como A y (no A) son sucesos incompatibles tales que (A o A c) = E podemos razonar análogamente como en la Propiedad 1 para llegar al resultado. En realidad la Propiedad 1 es un caso particular de esta propiedad.

En el experimento aleatorio consistente en lanzar dos monedas los sucesos {´´obtener al menos una cara´´} y {´´no obtener ninguna cara´´} son complementarios por lo que

p({´´obtener al menos una cara´´}) + p({´´no obtener ninguna cara´´}) = 1
(En la próxima página veremos cuál es la probabilidad de cada uno de estos sucesos).

Propiedad 3    Si el suceso B está contenido en A entonces p(A - B) = p(A) - p(B)
Como los sucesos A - B y B son incompatibles y además A = (A - B) o B tendremos

p(A) = p((A - B) o B) = por   Axioma AIII = p(A - B) + p(B)

de donde se deduce la propiedad indicada.

Propiedad 4   
Dados dos sucesos cualesquiera (no necesariamente incompatibles) se verifica

p(A o B) = p(A) + p(B) - p(A y B)

Una propiedad bastante "lógica" pues si sumamos el valor de la probabilidad de A y el valor de la probabilidad de B habremos de restar una vez el valor de la intersección, pues el valor de (A y B) lo habrímos sumados dos veces.

Si los sucesos son incompatibles, es decir (A y B) = Ø, entonces p(A y B) = 0 por   Propiedad 1 y resultaría el Axioma AIII.

La demostración, aunque más laboriosa que las vistas hasta ahora es muy fácil.
Como A = (A - B) o (A y B), incompatibles, resulta, por   Axioma AIII

p(A) = p(A - B) + p(A y B)
de donde
    p(A - B) = p(A) - p(A y B)     (1)
Igualmente como B = (B - A) o (A y B), razonando análogamente es
    p(B - A) = p(B) - p(A y B)     (2)
Por otra parte A o B = (A - B) o (B - A) o (A y B) incompatibles, por lo que volviendo a aplicar el Axioma AIII, resulta

p(A o B) = p(A - B) + p(B - A) + p(A y B)

y sustituyendo los valores de p(A - B) y p(B - A) por los valores obtenidos en (1) y (2) se obtiene la igualdad indicada

   << Operaciones con sucesos     >>Ley de Laplace

  Dados y monedas