G.M. Historias
Dados y Monedas
PROBLEMAS I
Quiniela
Jugando a la Bono Loto
El problema del cumpleaños
Leyendo la prensa
Veraneando en Jauja
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Quiniela
Para 1 partido, los posibles resultados son
P1 - 1 x 2 (3 posibles resultados)

Para dos partidos, tendremos
P1 - 1 x 2  1 x 2  1 x 2  
P2 - 1 1 1  x x x  2 2 2   (9 = 3 2 posibles resultados)

Con tres partidos resulta
P1 - 1 x 2  1 x 2  1 x 2  1 x 2  1 x 2  1 x 2  1 x 2  1 x 2  1 x 2  
P2 - 1 1 1  x x x  2 2 2  1 1 1  x x x  2 2 2  1 1 1  x x x  2 2 2  
P3 - 1 1 1  1 1 1  1 1 1  x x x  x x x  x x x  2 2 2  2 2 2  2 2 2   (27 = 3 3 posibles resultados)

Evidentemente, la quiniela 1 - x - 1 que corresponde a los partidos P1-P2-P3 es distinta de la x - 1 - 1. Una quiniela de 10 partidos será de la forma

1 - x - 2 - 1 - 1 - 1 - x - 1 - 2 - x
es decir, una variación con repetición de 3 elementos tomados de 10 en 10 y su número es 3 10 = 59049. En un boleto de 14 partidos el número de quinielas es 3 14 = 4782969 por lo que, al menos en teoría, la probabilidad de acertar una es 1/(3 14) = 0.0000002
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Jugando a la Bono Loto
El juego de la Bono Loto consiste en adivinar 6 números de 49 posibles. Dos de estos boletos son difrentes cuando lo es la naturaleza de algún elemento. Es decir los boletos {6 - 13 - 23 - 34 - 45 - 47} y {6 - 34 - 45 - 13 - 23 - 47} son el mismo. Dicho boleto es una combinación de seis elementos de las posibles que se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4, ..., 49. El número de las mismas es
y la probabilidad de que UNA de ellas sea la premiada es
¡Buena suerte! :-)
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El problema del cumpleaños
Determinar la probabilidad de que en una reunión de 5 personas, al menos dos cumplan años el mismo día
Sea el suceso A = {"al menos dos personas celebran su cumpleaños a la vez"} y su complementario Ac = {"no hay dos personas que celebren su cumpleaños a la vez"}
Suponiendo el año de 365 días, el número de casos posibles de celebración de cumpleaños es 3655 = 6,478 × 10 12
Los casos favorables son los siguientes: como la primera de las personas puede haber nacido uno de los 365 días del año, la siguiente unos de los 364 días restantes y así sucesivamente, resultan 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10 12 casos favorables a que no existan dos personas no hayan nacido el mismo día y tendremos
p(Ac) = 6,303 / 6,478 = 0,973
por lo que la probabilidad pedida es
p(A) = 1 - p(Ac) = 1 - 0,973 = 0,027

El problema puede generalizarse para una reunión de n personas. La probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día es

La siguiente tabla, resume la situación
 n = 10  p = 0,1169
 n = 15  p = 0,2529
 n = 20  p = 0,4114
 n = 25  p = 0,5687
 n = 30  p = 0,7063
 n = 35  p = 0,8144
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Leyendo la prensa
En Villa Horacia existen dos periódicos A y B. El 50% de sus habitantes son lectores del Diario A y el 30% del Diario B. Un 20% de ciudadanos leen ambos periódicos.
Se elige un ciudadano al azar. Calcular la probabilidad de que dicho ciudadano:
sea lector de algún diario.
Lea sólo el Diario A
No lea la prensa.
Lea sólo uno de los diarios.
Sean los sucesos A={"El ciudadano elegido lee el diario A"}" y B={"El ciudadano elegido lee el diario B}".
Además los sucesos A y B no son incompatibles (es decir, existen ciudadanos que leen ambos periódicos: p(A y B) = 0,20).
    Ser lector de algún diario.
    Podemos expresar el suceso pedido como (A o B) y puesto que ambos sucesos no son incompatibles, resulta
    p(A o B) = p(A) + p(B) - p(A y B) =
    = 0,5 + 0,3 - 0,2 = 0,6
    (Es decir, el 60% de los habitantes de Villa Horacia es lector de algún diario A o B)

    Leer sólo el Diario A
    Dicho suceso es A - B; como podemos expresar A como unión de los sucesos A - B y (A y B) (incompatibles) y por tanto

    p(A) = p(A - B) + p(A y B)
    por lo que
    p(A - B) = p(A) - p(A y B) = 0,5 - 0,2 = 0,3
    (El 30% de los habitantes de Villa Horacia sólo leen el Diario A. ¿Cuántos habitantes de Villa Horacia leen sólo el Diario B?)

    No leer la prensa
    Primer procedimiento Como la probabilidad de un suceso y de su complementario suman 1 y los sucesos "leer algún diario" y " no leer la prensa" son complementarios resulta

    p("no leer la prensa") = 1 - p("leer algún diario") = 1 - 0,6 = 0,4

    Segundo procedimiento Aplicando las leyes de Morgan
    Podemos expresar el suceso "No leer la prensa" como "No leer el diario A" y "No leer el Diario B", es decir (A o B) c = A c y B c
    Por tanto
    p(A c y B c) = p((A o B) c) = 1 - p(A o B) = 1 - 0,6 = 0,4

    Leer sólo uno de los diarios
    Podemos expresar dicho suceso por (A - B) o (B - A) ambos incompatibles.

    p((A - B) o (B - A)) = p(A - B) + p(B - A) =
    = p(A) - p(A y B) + p(B) - p(A y B) =
    = p(A) + p(B) - 2 × p(A y B) = 0,4
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Veraneando en Jauja
El 40% de las personas que pasaron sus vacaciones en Jauja eran extranjeras; el 70% eran mayores de 50 años y el 30% no eran extranjeras y tenín más de 50 años.
Elegida al azar una de las personas que veranearon en Jauja, determinar:
probabilidad de que sea extranjera y mayor de 50 años.
Probabilidad de que ni sea extranjera ni mayor de 50 años.
Consideramos los sucesos E = {"ser extranjero"} y M = {"ser mayor de 50 años"}. Podemos expresar el suceso {"no ser extranjero y tener más de 50 años"} por (Ec y M).
Según el enunciado, asignamos a cada uno de estos sucesos las siguientes probabilidades
p(E) = 0,4;    p(M) = 0,7   p(Ec y M) = 0,3

Probabilidad de que la persona elegida sea extranjera y mayor de 50 años.
El suceso pedido es (E y M) y calculamos su probabilidad.
Como podemos expresar el suceso M mediante la unión de los dos sucesos incompatibles (M y Ec) y (E y M) resulta
p(M) = p(M y Ec) + p(E y M)  =>
=>  p(E y M) = p(M) - p(M y Ec) = 0,7 - 0,3 = 0,4

Probabilidad de que ni sea extranjera ni mayor de 50 años.
El suceso pedido puede expresarse por (Mc y Ec).
A partir del resultado obtenido en el apartado anterior puede calcularse p(M o E) = 0,7

Teniendo en cuentas las Leyes de DeMorgan es

(Mc y Ec) = (M o E)c
por lo que
p(Mc y Ec) = p((M o E)c) = 1 - p(M o E) = 1 - 0,7 = 0,3
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