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PROBABILIDAD CONDICIONADA
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Conceptos básicos
Si lanzamos un dado y consideramos los sucesos B = {"Obtener puntuación inferior a 5"} y B = {"Obtener puntuación par"} la probabilidad de cada uno de ellos es, como sabemos, p(B) = 4/6 y p(A) = 1/2 ya que el espacio muestral del experimento aleatorio considerado es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y los caso favorables son, respectivamente, B = {1, 2, 3, 4} y A = {2, 4, 6} sin embargo la probabilidad del suceso {"Obtener par en el supuesto que se ha obtenido una puntuación inferior a 5"} es 2/4 puesto que el espacio muestral de dicho experimento aleatorio es E = {1, 2, 3, 4} = B y los casos favorables son 2 y 4.

Dicho suceso se representa, generalmente como A/B que se lee "el suceso A está condicionado por el suceso B" y para determinar la probabilidad de dicho suceso hemos de considerar como espacio muestral del mismo al suceso B. Con dicha notación podemos escribir, para el ejemplo considerado, que p(A/B) = 2/4


Un ejemplo
Se ha realizado una encuesta sobre el fenómeno de la violencia en los medios de comunicación y la información obtenida queda recogida en la siguiente tabla
Dicha tabla se denomina tabla de contingencia de frecuencias y a partir de ella se puede obtener abundante información.
Elegido un encuenstado al azar, la probabilidad de que haya dicho (S)í es p(S) = 418/600, de que haya dicho (N)o p(N) = 140/600 y la probabilidad de (N)s/(N)c es p(NN) = 42/600

Igualmente podemos determinar la probabilidad de que hayamos elegido un (H)ombre p(H) = 280/600 o de una mujer p(M) = 320/600

La probabilidad del suceso (H y S) = {"Hombres que han dicho sí"} es p(H y S) = 162/600. Dicho suceso no es lo mismo que el suceso

H/S = {"Seleccionar un hombre entre los que han dicho sí"}
ni
S/H = {"Seleccionar respuesta afirmativa entre los hombres"}
cuyas probabilidades respecitivas son

Seleccionar un hombre entre
los que han dicho sí

p(H/S) = 162/418   (#1)


Seleccionar respuesta afirmativa
entre los hombres

p(S/H) = 162/280    (#2)

(Puedes observar la justificación de cada uno de ellos colocando el ratón sobre la tabla)

A partir de (#1) podemos escribir

y análogamente a partir de (#2)
Resumiendo
Dados dos sucesos A y B podemos calcular la probabilidad p(A/B) teniendo en cuenta que el número de casos favorables vendría dado por el suceso (A y B) y que el número de casos posibles vendría dado por el suceso B. Es decir, como si B fuese el nuevo espacio muestral.

Es evidente que si el suceso A no está condicionado por B entonces p(A/B) = p(A) por lo que p(A y B) = p(A) p(B)

  Si dos sucesos A y B son independientes p(A y B) = p(A) p(B) y recíprocamente  

Otro ejemplo

Una urna tiene tres bolas azules y tres bolas rojas. Se extraen, con reemplazamiento, dos bolas. Consideramos los sucesos M = {La primera bola extraída es azul} y N = {Al menos una bola extraída es azul}. Vamos a ver si dichos sucesos son independientes o no.

El espacio muestral es el conjunto E = {AA, AR, RA, RR} y los sucesos M y N son

 M = {AA, AR}    N = {AA, AR, RA} 
por lo que p(M) = 2/4 y p(N) = 3/4

Como (M y N) = {AA, AR} (en el gráfico puede observarse que M está contenido en N) resulta p(M y N) = 2/4

Como p(M y N)p(M)×p(N) los sucesos M y N no son independientes

La probabilidad del suceso M/N = {La primera bola es azul en el supuesto que al menos una es azul} es
(Y sólo tienes que observar el dibujo para convencerte de ello :-))

Por otra parte, la probabilidad del suceso N/M = {Al menos una bola es azul en el supuesto que la primera es azul} es, evidentemente ...

¡el suceso seguro! (¿Lógico no?)

Para el lector interesado:  ¿qué pasaría si la extracción de bolas fuese sin reemplazamiento?


Uno más
Supongamos la urna anterior, pero en ella hay tres bolas rojas y dos azules. Extraemos, sin reemplazamiento dos bolas y nuevamente consideramos los sucesos M = {La primera bola extraída es azul} y N = {Al menos una bola extraída es azul}.
Al no devolver la bola a la urna la probabilidad de la siguiente extracción dependerá de la bola que hayamos sacado en primer lugar.

El siguiente diagrama de árbol da una idea de la situación

y los sucesos  M y  N   son
 M = { A 1 y R 2, A 1 y A 2 }      N = { A 1 y R 2, A 1 y A 2, R 1 y A 2 }

Por lo tanto

p(M) = p(A 1 y R 2) + p(A 1 y A 2) =
= p(A 1)×p(R 2 / A 1) + p(A 1)× p(A 2 / A 1) =
= 2/5 × 3/4 + 2/5 × 1/4 = 2/5

p(N) = p(A 1 y R 2) + p(A 1 y A 2) + p(R 1 y A 2) =
= p(A 1)×p(R 2 / A 1) + p(A 1)× p(A 2 / A 1) + p(R 1)× p(A 2 / R 1) =
= 2/5 × 3/4 + 2/5 × 1/4 + 3/5 × 2/4 = 7/10

En resumen p(M) × p(N) = 7/25 que es distinto de p(M y N) = 2/5 por lo que los sucesos M y N son dependientes.

La probabilidad de los sucesos condicionados M/N y N/M viene dada por


A veces es útil tener en cuenta que si dos sucesos A y B son independientes sus complementarios también lo son, es decir si
p(A y B) = p(A) × p(B) entonces p(Ac y Bc) = p(Ac) × p(Bc)
En efecto:  
p(Ac y Bc) = p((A o B)c) = Según las leyes de DeMorgan
   = 1 - p(A o B) = Pues p(Sc) = 1 - p(S)
   = 1 - (p(A) + p(B) - p(A y B)) =
   = 1 - p(A) - p(B) + p(A y B) =
Pues    p(A o B) = p(A) + p(B) - p(A y B)
   = 1 - p(A) - p(B) + p(A) × p(B) = Por hipótesis    p(A y B) = p(A) × p(B)
   = p(A) × (p(B) - 1) + 1 - p(B) =
   = - p(A) × (1 - p(B)) + 1 - p(B) =
   = (1 - p(B)) × (1 - p(A)) = p(Ac) × p(Bc)
Sacando factor común y operando
Puede probarse igualmente que si A y B son independientes también se verifica que
p(A y Bc) = p(A) × p(Bc)    p(Ac y B) = p(Ac) × p(B)

Si los sucesos A y B son independientes y compatibles, ¿cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas?:
1) p( (A o B) / B) = 1
2) p(B / Ac) = p(B)

Los sucesos A y B son tales que su unión es el suceso seguro y p(A/B) = 1/2 y p(B/A) = 1/3 determinar p(A) y p(B).
Solución   3/4 y 1/2


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