G.M. Historias
Caldo`e Cabeza
Introducción

Las matemáticas han acompañado a los seres humanos prácticamente desde sus comienzos. Con las primeras manifestaciones de la civilización, surgió la necesidad de contar, lo que podría tomarse como el inicio de la aritmética. Si bien los pueblos, o más bien los habitantes de la época prehitórica, no dejaron testimonios escritos, existen hallazgos que demuestran el uso de la contabilidad en aquella época.

   A partir de entonces, todas las grandes civilizaciones han ido avanzando en la ciencia y en sus distintas ramas. Son destacables los enormes avances en matemáticas realizados por los griegos. Estos se interesaban principalmente por la Aritmética y la Geometría. En Geometría se destacan Pitágoras y Tales de Mileto. Posteriormente vino Euclides en el s. III a.C., cuya forma de pensamiento ha servido de modelo a muchos matemáticos posteriores. Otros matemáticos dignos de destacar son Arquímedes y Diofanto.

   Durante la Edad Media y hasta el siglo XVII se extiende un periodo de enorme importancia en el cual la mayoría de los matemáticos eran indios, árabes (que por cierto inventaron el Álgebra) o italianos. Se inventaron las notaciones que provocaron un auge del pensamiento matemático al suministrarle un lenguaje escrito. Las disciplinas clásicas como la geometría y la aritmética, evolucionaron a la vez que se inventan disciplinas nuevas: cálculo integral, análisis, cálculo de probabilidades.

   Posteriormente numerosos científicos han trabajado y avanzado en esta disciplina, la cual es fundamental ya que forma parte de todas las ciencias técnicas, pues son la base para efectuar cualquier cálculo.

   Las aplicaciones de las matemáticas son innumerables ya que van desde la capacidad para realizar cálculos en cuarta, quinta o n dimensiones (algo inconcebible para nosostros que vemos el mundo en 3 dimensiones) hasta las cosas más comunes, como puede ser una medidición o la preparación de un plato de comida

   Hacer matemáticas es razonar y sobre todo imaginar. Así pues, partiendo de lo que fácil y conocido, se trata de atacar aquello que parece inabarcable y desconocido. Esto es lo que se pretende lograr con el siguiente trabajo, el cual denominaremos Caldo`e Cabeza, queriendo utilizar una frase popular y, grafica lo difícil que muchas veces nos resulta razonar de manera adecuada y por sobre todo crear e imaginar nuevas maneras para resolver los problemas planteados, utilizando los conocimientos adquiridos durante nuestro periodo de estudio matemático (que ya alcanza los 11 años aproximadamente).

   En las siguientes páginas el lector podrá apreciar el planteamiento de dicinueve problemas los cuales se incluyen su resolución de forma minuciosa. Cabe destacar que incluímos además un vocabulario y un título original para cada problema, el cual fue creado por nosotros



I. Cuando el ocio se hace negocio
En cierto diario apareció el siguiente aviso:

¡ 10.000 pesos por 2000 !
Cualquiera puede obtener 50000 pesos invirtiendo sólo 10000 pesos. Remitiremos información gratuita a quien la solicite.

Al solicitar la información se recibe un folleto que dice: Por el momento, cuando usted nos envíe 10000 pesos no le enviaremos los 50000 pesos, sino cuatro boletos que tendrá que distribuir a 10000 pesos, entre cuatro conocidos, quienes nos remitirán el importe de los boletos y entonces usted recibirá los 50000 pesos.
Cada comprador de uno de estos cuatro boletos anteriores tendrá derecho a cinco boletos, que tendrá que distribuir a 10000 pesos, entre cinco conocidos, y una vez éstos hayan recibido el importe, tendrán la posibilidad de recibir 50000 pesos. Los nuevos tenedores de boletos, a su vez, recibirán otros cinco boletos cada uno, para distribuirlos y asi sicesivamente.

¿ Aceptaría usted este negocio ?. Fundamente su respuesta.


II. Un conjuro «casi» eterno ...
Este problema ya se publicó en la Gacetilla Matemática en la página de Chiloé con el nombre de ABRACADABRA


III. ¡ Se les va a enfriar la cena !!
¿ De cuántas maneras diferentes pudieron sentarse en la noche de la última cena, en torno a la mesa Jesucristo y los doce Apóstoles ?
Si se admite que en cada minuto se agrupan de 4 modos diferentes, hallar el tiempo que demorarán en ensayar todas las posiciones posibles.


IV. La Gran Cortada...
Este problema ya se publicó en la Gacetilla Matemática en la página de Chiloé con el nombre de El plano y las circunferencias


V. Se busca... (son tres y son peligrosos)
Hallar un número de tres cifras, sabiendo que la suma de sus cifras es 9, el producto de las mismas es 24 y además el número leído de derecha a izquierda es 27/38 del número primitivo.


VI. El rectángulo que quería ser cuadrado
Un rectángulo ABCD es dividido en 5 rectágulos R1, R2, R3 y R4 como indica la figura. Se sabe que R5 es un cuadrado y que las áreas de R1, R2, R3 y R4 son iguales entre sí. Demostrar que ABCD es un cuadrado.


VII. El 1/2 cálculo
Este problema ya se publicó en la Gacetilla Matemática en la página de Chiloé con el nombre de Problema y Medio

Iglesia San Francisco


VIII. Casi 40 metros de historia
Si usted está en la plaza de Castro y tiene prohibido cruzar la calle, ¿cómo calcularía la altura de las torres de la iglesia de San Francisco?. Describa el método, figuras y cálculos realizados.


IX. La esperanza es lo último que se pierde.
La combinación secreta de una caja de seguridad se hace usando 4 letras y 3 números.
(i) ¿Cúantas combinaciones se pueden hacer?.
(ii) ¿Cuánto tiempo se demorará una persona en hacer todoas las combinaciones si se hacen 3 combinaciones por segundo?.


X. Ese es el punto...
ABC es un triángulo equilátero y P un punto en su interior. Se levantan sendas perpendiculares PD, PE y PF a cada uno de los tres lados. Demuestra que, no importando dóde esté el punto se cumple

Solución remitida por Marcos


XI. ¡¡Me quitaste un peso de encima!!
Un recipiente lleno de agua pesa 35 kg..Cuando está lleno a la mitad pesa 19 kg. ¿Cuánto pesa el recipiente sin el agua?.


XII. El más es...
Dos envases cilíndricos tienen paredes del mismo espesor. La capacidad de uno es 64 lts., y la del otro, de 1 lt. Se sabe que la razón estre la altura y el radio basal, es la misma en ambos cilindros. Determinar cuántas veces más pesado es el envase mayor que el menor. Justifique su respuesta.


XIII. Un paseo inolvidable.
Un ciclista recorría una avenida de doble tránsito, a velocidad constante, y notó que cada 5 minutos se cruzaba con un omnibus que venía en sentido contrario. Además, cada 15 minutos le daba alcance un omnibus que corría en su mismo sentido. Se sabe que todos los omnibuses son de la misma línea, corren a la misma velocidad constante y salen de los dos paraderos extremos del recorrido, con absoluta regularidad. Calcular cada cuántos minutos parten los omnibuses de los paraderos extremos. Justifique.


XIV. Había una vez...
...una ciudad roja y rosa que el tiempo dobla en edad. Mil millones de años hace que tenía la ciudad dos quintos exactamente de los que el tiempo tendrá cuando hayan transcurrido mil millones de años más. ¿Podría usted decirme cuál es su edad actual?


XV. Vaya coincidencia
¿Cada cuánto tiempo el horario y el minutero de un reloj coinciden?


XVI. Adivina ¿quién soy?
Si mi propia raiz cuadrada a mi mismo me restan, por una gracia sólo a mi reservada, el resultado es justo 30.


XVII. La Gran Jugada.
Calcular el número aproximado de partidas de ajedrez. La respuesta debe contener cuántas jugadas posibles existen para el primer movimiento de las blancas. De cuántas maneras pueden contestar las negras. Considere cuántos movimientos tienen las blancas para la segunda jugada y cuál es el promedio razonable de jugadas a considerar a partir de las respuestas de las negras en el segundo movimiento. Considere que el total de jugadas en una partida normal, sea como término medio 40.


XVIII. El tablero eterno
Si toda la población de nuestro planeta jugara ajedrez el dia entero moviendo una pieza cada segundo, ¿cuánto duraría ese juego general y permanente para agotar todas las posibles partidas?


XIX. Al son del viento.
En una laguna florece un nenúfar. La flor sobresale 10 cm. desde la superficie del agua. Cuando sopla el viento, todo el tallo de la planta se inclina sin curvarse y toca el agua en un punto situado a 21 cm. de donde originariamente se yergue. ¿Cuál es la profundidad de la laguna en ese lugar?

Nuestra conclusión, más bien, apunta hacia como cómo el ser humano es capaz de razonar en una mínima expresión y cómo nos hemos acostumbrado a elaborar trabajos y respuestas mecánicas.
Nos dismos cuenta, que en realidad el presente trabajo no era difícil con respecto a los contenidos que tenía cada problema, sino que lo complejo era razonar y pensar de una manera ordenada, lógica y distinta.
En muchas ocasiones decimos: ¿De qué nos puede servir aprender la resolución de cada uno de estos problemas, si cuando trabajemos o más adelante, no nos van a estra preguntando cuántas veces se lee abracadabra, etc. ?. Es de esa forma que se comprueba que estamos en la "generación del cómodo", donde los seres humanos no somos capaces de cuestionar o analizar nada. Si la gran mayoría de nosotros fuera un poco menos "apático" al razonamiento, cuántas cosas y situaciones se habrían descubierto o evitado (respectivamente), si sólo utilizáramos un mínimo de ese denigrante 10% de masa cerebral activa, cuan mejor estaría organizado "todo"

De lo anteriormente señalado, producto de la realización del presente trabajo concluimos:
Las matemáticas, no son más que juegos de razonamiento, que con una visión futurista, nos llevará a la resolución de problemas cotidianos, de una manera sistemática y lógica.
La mente humana, es un instrumento tan capaz, pero tan poco utilizado y aprovechado, que ante cualquier planteamiento, hecho o situación que sale de lo común, se rinde sin un mínimo de razonamiento.
Finalmente, la dificultad del trabajo, radicó principalmente, en la complejidad de razones lógicas y no tanto en los contenidos planteados.


En la Gacetilla tenemos todas las resoluciones de los problemas. Una labor artesanal, bien hecha y razonada. ¡Enhorabuena!. Todo los gráficos, iconos, etc. están escaneados a partir del trabajo original. Ahí os dejamos los problemas a disposición de todos... para que disfrutéis.
Y nada más (por ahora). ¡Feliz Verano! ... y ¡Feliz Invierno! para nuestros amigos de Chiloé.
   Caldo.zip (3221 bytes)
   Fichero de texto con los enunciados de los problemas


  Caldo e Cabeza. Una revista para Chiloé