G.M. Historias
  Números capicúas.   Francisco Javier Asencor
Una carta de nuestro amigo Francisco Javier Asencor

Querido amigo:
Resulta simpática la introducción con análisis-felicitación con que introduces la actual (se refiere a la anterior lógicamente) edición de la Gacetilla.
Se menciona el hecho de que el número del año iniciado es capicúa. Este tipo de clasificación de los números, atendiendo a sus cifras genera una "paramatemática" con interés lúdico pero que no me resisto a tocar.
Resulta que en los últimos mil años, sólo nosotros (los que el 1 de enero último vivíamos con edad de 11 años o más) y algún longevo (?) hemos tenido la oportunidad de vivir dos años capicúas, (1991 y 2002). Y esto no volverá a ocurrir hasta dentro de otros mil años salvo para los pocos longevos que superen los 110 años. (Bueno, tal vez puedan ser muchos si la esperanza de vida se sigue alargando...). Todo esto es válido sólo para las personas que nos regimos por el calendario de la Era Cristiana. Incluir el resto es una labor que se me escapa.
Volviendo a la clasificación de los números por consideraciones sobre sus cifras. Establecer algoritmos que supongan operar con las cifras permite relaciones de equivalencia y de orden entre ellas que suponen un entretenimiento. Permiten establecer clasificaciones y ordenaciones muchas veces sorprendentes, así como propiedades de algunos números. Si contemplamos algún valor didáctico, resulta un ejercicio formativo tratar de describirlos con lenguaje simbólico matemático riguroso. Adjunto una posibilidad, resulta simpático admitir que todos nos entendemos cuando decimos "son los números que se leen igual de atrás para adelante".
Salvo el 1 (uno), que es un "pesao" trivial que sale por todos los sitios, el 81 es el único número que es igual al cuadrado de la suma de sus cifras... con el cubo les ocurre a varios, etc.

Definir "número capicúa"
Como convencisn admitimos el idioma español en las expresiones literales y los símbolos arábigos, utilizados en base decimal, para las expresiones numéricas
Simbolizamos con N el conjunto de números naturales, N = {1, 2, ...} y N# = {2, 3, 4 ...} el de los números naturales excluyendo el 1.
Sean los números nN y bN#.
Sea el conjunto D = {0, 1, 2, ... b - 1}
Para cada n y cada b existe un único conjunto ordenado e infinito de números, Sn, b:

que cumple
y lo denominamos cifras de n expresado en base b
Al valor lo denominamos número de cifras de n.
Con lo que puede expresarse
Los valores de n para los que a i = am - i - 1 para todo i < m,se denominan capicúas en base b. Por antonomasia, los capicúas en base 10, se denominan capicúas.

Por ejemplo:
Si tomamos n el número que adjudicamos al año en curso en la Era Cristiana.
Para b = 7

n = 0×70 + 6×71 + 5×72 + 5×73 + 0×74 + 0×75 + ...
Sn, 7 = {0, 6, 5, 5, 0, 0, ...} con lo que m = 4. Puesto que a 0 = 0 y a 3 = 5, se tiene que a 0 es distinto de a 3 y en consecuencia n no es capicúa en base 7.
Para b = 10
n = 2×100 + 0×101 + 0×102 + 2×103 + 0×104 + 0×105 + ...
Sn, 10 = {2, 0, 0, 2, 0, 0, ...} con lo que m = 3. Puesto que a 0 = a 3 = 2, también a 1 = a 2 = 0, en consecuencia n es capicúa en base 10 o simplemente capicúa.

Un cordial saludo. Javier

PALÍNDROMOS
Conjetura del Capicúa
Aquí te te dejamos un método para obtener números capicúas. Dicho método indica que dado un número y sumándolo con el que resulta de invertir sus cifras, después de un número finito de pasos, obtenemos un capicúa. Por ejemplo:
N = 42 42 + 24 = 66
N = 28 28 + 82 = 110
110 + 011 = 121
N = 87 87 + 78 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
Pero cuidado, es sólo una conjetura. Si quieres medio comprobarlo prueba con el número 89 y si lo consigues para el número 196 ... ¡Enhorabuena!

  Números capicúas