G.M. Historias
  Resolviendo Ecuaciones.  
Cómo resolver la ecuación x 4 - 8 x 3 - 36 x 2 + 288 x - 576 = 0
Bernard Bolzano
The Bernard Bolzano Pages
Bernard Bolzano filósofo, matemático y sacerdote católico checo (1781-1848). Sus ideas liberales y racionalistas lo llevaron a la expulsión de la universidad de Praga (1819) en la que impartía clases de filosofía y religión. Fué de los primeros en presentar definiciones rigurosas sobre funciones continuas y derivables. Su obra póstuma Paradojas del Infinito presenta, entre otras, las definiciones de cantidad, número, conjunto finito e infinito.
En 1817 presenta un trabajo titulado ´´Una prueba puramente analítica del teorema que establece que entre dos valores donde se garantice un resultado opuesto, hay una raíz real de la ecuación´´. Dicha prueba analítica se conoce hoy como teorema de Bolzano
Representación gráfica del teorema de Bolzano
El Teorema de Bolzano enunciado con la terminología actual dice:
Si f es una función continua en el intervalo [a,b] y f(a) y f(b) toman valores de signo opuesto (es decir, f(a) . f(b) < 0), entonces existe una raíz de f en (a,b). (Es decir, existe un punto c del intervalo (a,b) en el que f(c) = 0).

En dicho teorema nos vamos a basar para encontrar una raíz de una ecuación. Conviene observar que el teorema de Bolzano es un teorema de existencia, por lo que nos garantiza la existencia de la raíz, pero no nos dice cuál es.
También es importante señalar que el teorema indica que existe una raíz en el intervalo, aunque pueden existir más de una. Por último diremos que todas las hipótesis del teorema son esenciales para la existencia de la raíz, incluida la continuidad de f en los extremos del intervalo.

Vamos a diseñar una estrategia para resolver, mediante el teorema de Bolzano, la ecuación f(x) = x 2 - 2 = 0 (con lo que tendremos, además un método para hallar la raíz cuadrada de 2).
  • Como f(1) = - 1 < 0 y f(2) = 2 > 0 y f es continua en [1,2], existirá una raíz de dicha ecuación en (1,2).
    Dicha estrategia es muy sencilla; consiste en dividir el intervalo [1,2] incial en dos subintervalos iguales; en uno de los subintervalos la función cambiará de signo en sus extremos. Dicho subintervalo volvemos a dividirlo en dos y en uno de ellos, la función volverá a cambiar de signo y así sucesivamente. Tenemos de esta forma una sucesión de subintervalos encajados cuya longitud tiende a 0. Puede probarse, que las sucesiones formadas por los extremos de los subintervalos convergen a la raíz de f.

  • Este procedimiento puede trasladarse facilmente a un programa de ordenador o calculadora. Para tener una bandera de salida basta establecer el cálculo de la raíz con una cota de error dada. (Por ejemplo que la longitud del intervalo sea menor que un cierto valor).
  •    f(x) = x 2 - 2 = 0
    [a, b] Signo
    f(a)
    Signo
    f(b)
    Punto medio
    x m
    Signo
    f(x m)
    Longitud
    intervalo
    [1, 2] - + 3/2 = 1,5 + 1
    [1, 3/2] - + 5/4 = 1,25 - 1/2 (0,5)
    [5/4, 3/2] - + 11/8 = 1,375 - 1/2 2 (0,25)
    [11/8, 3/2] - + 23/16 = 1,43750 - 1/2 3 (0,125)
    [11/8, 23/16] - + 45/32 = 1,40625 - 1/2 4 (0,0625)
    [45/32, 23/16] - + 91/64 = 1,42188 + 1/2 5 (0,03125)
    [45/32, 91/64] - + 181/128 = 1,41406 - 1/2 6 (0,01563)
    [181/128, 91/64] - + 363/256 = 1,41797 + 1/2 4 (0,00781)

    • Conviene resaltar lo lenta que es la convergencia hacia la solución buscada.

      Método de Newton  
    Un algoritmo sencillo y de, en ciertas condiciones, rápida convergencia para obtener la raíz de una ecuación, es el método de Newton-Raphson, o simplemente método de Newton.
    La idea intuitiva es muy fácil. Si hacemos una estimación inicial, por ejemplo x 0, de la raíz c, y trazamos en T (x 0, f(x 0)) la tangente a f, ésta cortará al eje de abscisas en x 1 que es una mejor estimación de c que la inicial.
    Repitiendo el proceso tendremos una sucesión x0, x1, x2..., xn que puede probarse que, si converge, lo hace a c.


    Cálculo de los x k
    La ecuación de la tangente a f en T viene dada por

    f(x) - f(x 0) = f´(x 0)(x - x 0)
    y la intersección de ella con el eje de abscisas, si designamos dicha intersección por (x 1,0) resulta
    - f(x 0) = f´(x 0)(x 1 - x 0),     de donde

    Reiterando el proceso para x1, x2,... obtenemos la expresión general:


  • No siempre converge la sucesión x 0, x 1, x 2, ... x n, como puede comprobarse con la función f (x) = x 1/3
    Entonces tenemos que x n + 1 = - 2 x n
  •    f (x) = x 2 - 2     f '(x) = 2x
    x n f (x n) f '(x n) x n+1
    3/2 0,25 3 1,416667
    1,416667 0,006944 2,833333 1,414216
    1,414216 0,000006 2,828431 1,414214
      Observaciones:
    • Es preciso realizar una buena estimación inicial, es decir elegir un x0 ´´próximo´´ a la raíz de f. Claro que si no sabemos la raíz ... (pero el teorema de Bolzano puede ayudar para localizarla).
    • Como aparece f´(x n) en el denominador, el método fallará si algún valor lo anula; el problema puede soslayarse con la elección de otra estimación inicial.
    • Es preciso tener en cuenta unas mínimas condiciones de continuidad y derivabilidad de f y f ' como las funciones polinómicas las cumplen, no insistiremos sobre el tema.
    • Una convergencia realmente rápida, ¡Sí señor!, por algo, dicho algoritmo es utilizado por varias calculadoras para el cálculo de la raíz cuadrada.


    Resolviendo la ecuación
    f(x) = x 4 - 8 x 3 - 36 x 2 + 288 x - 576 = 0
    Como f cumple las condiciones de continuidad y derivabilidad, mediante el teorema de Bolzano, obtenemos f(9)= -171 < 0 y f(10)= 704 > 0, luego en el intervalo (9,10) existe (al menos) una raíz real. En lugar de realizar los cálculos vamos a utilizar una calculadora Texas Instruments TI-82 para efectuarlos. Los pasos que seguimos están indicados en la columna de la derecha
    1: Introducimos en el editor de ecuaciones la expresión de f y de su derivada
       Y1= x 4 - 8 x 3 - 36 x 2 + 288 x - 576
       Y2= 4x 3 - 24x 2 - 72 + 288

    2: Asignamos a la variable alfanumérica A el valor inicial 19/2
    19/2 A

    3: Escribimos la expresión de x n + 1 particularizada para la función dada y la almacenamos en A
    (A - (Y1(A)/Y2(A)) A
    9.272839

    4: Cada vez que pulsamos Enter obtenemos
    9.254112

    9.253989

    9.253989

    • La ecuación propuesta tiene otra raíz real. ¿Cuál?
      La otra solución, facilitada por Paloma Pascual, es -6,490345.

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