G.M. Historias
  Leonardo de Pisa. Fibonacci  
"En un patio cerrado, se coloca una pareja de conejos para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Como la primera pareja de conejos tiene descendencia en el primer mes, dobla el número y, en este mes, se tienen dos parejas. De éstas, una pareja, la primera, también tiene descendencia en el mes siguiente, de manera que en el segundo mes hay tres parejas. De ésas, dos parejas tienen descendencia en el mes siguiente, de modo que en el tercer mes han nacido dos parejas adicionales de conejos, y el número total de parejas de conejos llega a cinco. En dicho mes tres de estas cinco parejas tienen hijos y, en el cuarto, el número de parejas llega a 8. Cinco de estas parejas producen otras cinco parejas, las cuales, junto con las 8 parejas ya existentes, hacen 13 parejas en el quinto mes. Cinco de estas parejas no tienen hijos en este mes en este mes, mientras que las restantes ocho parejas tienen descendencia, de modo que en el sexto mes se tienen 21 parejas. Simando a éstas las 13 parejas que nacen en el séptimo mes, se obtiene un total de 34 parejas. Sumando a éstas las las 21 parejas que nacen en el octavo mes, el total es de 55 parejas. Sumando a éstas las 34 parejas que nacen en el noveno mes, se obtienen 89 parejas. Agregando a éstas las 55 parejas que nacen en el décimo mes, se tiene un total de 144 parejas. Agregando a éstas las 89 parejas que nacen en el undécimo mes, se llega a un total de 233 parejas.

Parejas:1
primer mes2
segundo mes3
tercer mes5
cuarto mes8
quinto mes13
sexto mes21
séptimo mes34
octavo mes55
noveno mes89
décimo mes144
undécimo mes233
duodécimo mes377

Finalmente, sumando a éstas 144 parejas que nacen en el último mes, se obtienen un total de 377 parejas. Este es el número de parejas producidas por la primera pareja en el lugar dado, al término de un año. Al examinar la tabla anterior, el lector puede ver cómo se llega a este resultado; a saber: se suma el primer número al segundo, o sea, 1 a 2; el segundo al tercero; el tercero al cuarto, el cuarto al quinto; y así sucesivamente, hasta que se suman el décimo y el undécimo números 144 y 233; así se obtiene el número total de parejas de los conejos en cuestión, es decir, 377."

Otras sucesiones interesantes.

Números de Lucas.
En honor del matemático francés F. Edouard A. Lucas (1842-1891)
La sucesión definida por:


L 1 = 1, L 2 = 3
L n+2 = L n+1 + L n    n >= 1

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...

Sucesiones generalizadas de Fibonacci.
se obtienen con el mismo método de recurrencia pero los dos primeros términos son dos números naturales cualesquiera.
Si f 1 = 1 y f 2 = 5, obtenemos la sucesión generalizada de Fibonacci siguiente:


1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118,...

Números de Tribonacci
Sucesión obtenida a partir de los números


T 1 = 1; T 2 = 1; T 3 = 2

y sumando de tres en tres

T 4 = T 3 + T 2 + T 1 = 4
T 5 = T 4 + T 3 + T 2 = 7
T 6 = T 5 + T 4 + T 3 = 13
T 7 = T 6 + T 5 + T 4 = 24
T 8 = T 7 + T 6 + T 5 = 44
. . .

Fibonacci

Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci, contracción de filius Bonacci, es decir el hijo de Bonacci) nace en Pisa, posiblemente hacia 1170 y muere sobre 1250. Al ser su padre representante comercial de la ciudad de Pisa en Argelia, estuvo en contacto con la cultura árabe, interesándose especialmente por sus matemáticas.
Su obra principal fue el Liber Abaci (o Libro acerca del Ábaco), una extensa obra que contiene casi todo el conocimiento algebraico y aritmético de la época. En ella Fibonacci exponía entre otras cosas, la importancia del sistema de numeración indoarábigo. Escrito en 1202, sólo se conserva la versión de 1228 (segunda versión). En él aparece (pgs. 123 y 124) un problema sobre el nacimiento de conejos y que nada tuvo de significativo hasta que, a comienzos del siglo pasado, fue objeto de numerosos estudios que permitieron descubrir muchas de las propiedades que tiene. Aunque anteriormente Kepler (De Nive Sexangula) ya había relacionado la sucesión de Fibonacci con la sección áurea y el crecimiento de plantas.
En honor de Fibonacci, la sucesión definida por
f1 = f2 = 1
fn = fn - 1 + fn - 2   para n >= 3

recibe el nombre de sucesión de Fibonacci y sus término números de Fibonacci.

Los primeros téminos de la sucesión de Fibonacci son:

  • f 1 = 1
  • f 2 = 1
  • f 3 = f 2 + f 1 = 2
  • f 4 = f 3 + f 2 = 3
  • f 5 = f 4 + f 3 = 5
  • f 6 = f 5 + f 4 = 8
  • f 7 = f 6 + f 5 = 13
  • ...
Es decir:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

En ella f 14 = 377 es el resultado buscado por Fibonacci.

Otras obras de Fibonacci fueron:
  • Practica Geometriae (1120)
  • Liber quadratorum (1225)
  • Flos (1225)
    • La sucesión de Fibonacci presenta numerosas propiedades que la han hecho particularmente atractiva. Existe una publicación denominada The Fibonacci Quarterly, publicada por la Fibonacci Association en la que, a partir de los años 60, se recogen y estudian múltiples propiedades de esta sucesión y las derivadas de ella. En lo que sigue veremos algunas de estas propiedades

      Suma de n términos  
    f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + ... + f n = f n + 2 - 1

      Suma de términos impares  
    f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + ... + f 2n - 1 = f 2n

      Suma de términos pares  
    f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + ... + f 2n = f 2n + 1 - 1

      Suma de los cuadrados de n términos  
    f 12 + f 22 + f 32 + f 42 + ... + f n2 = f n f n + 1

      Diferencia de cuadrados   La diferencia de cuadrados de dos números de Fibonacci cuyos índices difieren en dos unidades es otro número de Fibonacci
    f n + 12 - f n - 12 = f 2n

      Relación de la sucesión de Fibonacci con los coeficientes binomiales  

    Dispuesto el Triángulo de Pascal tal como indica la figura y sumando las diagonales en el orden indicado (diagonales colororeadas) obtenemos los números de Fibonacci.
    Si , los números de Fibonacci tienen la siguiente expresión:
    f 1 = C0, 0
    f 2 = C 1, 0
    f 3 = C 2, 0 + C 1, 1
    f 4 = C 3, 0 + C 2, 1
    f 5 = C 4, 0 + C 3, 1 + C 2, 2
    f 6 = C 5, 0 + C 4, 1 + C 3, 2
    f 7 = C 6, 0 + C 5, 1 + C 4, 2 + C 3, 3
    f 8 = C 7, 0 + C 6, 1 + C 5, 2 + C 4, 3
    ...
      La divisibilidad y los números de Fibonacci.  
    • Números de Fibonacci consecutivos son primos entre si
    • Si designamos por (a,b) el máximo común divisor de a y b, entonces
      (f m , f n) = f (m, n)
      Ejemplo:
      Si f 8 = 21 y f 12 = 144, entonces m = 8, n = 12, por lo que (m, n) = (8, 12) = 4 y
      (f 8 , f 12) = (21, 144) = 3 = f 4
    • Si n es divisible entre m, entonces f n es divisible entre f m
      Ejemplo:
      f 10 = 55; f 5 = 5 entonces f 10 / f 5 = 55 / 5 = 11
    • f n es par si y sólo si n es múltiplo de 3.
      f 3 = 2;   f 6 = 8;   f 9 = 34;   f 12 = 144...
      La sucesión de Fibonacci y el número áureo.  
    • La sucesión formada por los cocientes de números de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo.
          Diferencia en valor absoluto con phi  
      f 2 / f 1 = 1 0, 61 80 33 98 ...
      f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2 0, 38 19 66 01 ...
      f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5 0, 11 80 33 98 ...
      f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66 66 ... 0, 04 86 32 67 ...
      f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6 0, 01 80 33 98 ...
      f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5 0, 00 69 66 01 ...
      f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ... 0, 00 26 49 37 ...
      f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ... 0, 00 10 13 63 ...
      f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ... 0, 00 03 86 92 ...
      ...
      Es decir
      Como f n = f n - 2 + f n - 1 resulta

      Ahora bien por lo que
      Análogamente

      Reiterando este procedimiento llegamos a obtener
      Puesto que el número áureo tiene el mismo desarrollo en forma continua queda justificada la convergencia indicada.
      Otras convergencias de los números de Fibonacci  
    • La sucesión f 1 / f 3,   f 2 / f 4,   f 3 / f 5,   f 4 / f 6,   ... f n / f n + 2 converge a
    • La sucesión f 1 / f 2,   f 2 / f 3,   f 3 / f 4,   f 4 / f 5,  ... f n / f n + 1 converge a
    • El número de Fibonacci f m es el entero más próximo al témino a m de la progresión geométrica cuyo primer término es y razón
      Ejemplo
      es decir f 14 = Parte Entera (a 14 ) = 377
    • Fórmula de Binet
      Podemos obtener un número de Fibonacci mediante la expresión

      expresión conocida por fórmula de Binet como recuerdo de Jacques Philippe Marie Binet (1786-1856), matemático que la descubrió
    Espiral de Fibonacci Espiral de Fibonacci Espiral de Fibonacci
    Espiral de Fibonacci

    En la red:

      Leonardo de Pisa. Fibonacci