G.M. Historias
  María Gaetana Agnesi (1718-1799)  
Maria Gaetana Agnesi Nacida en Milán fue una excelente matemática, filósofa y ling|ista. Con 30 años publica un libro, primer tomo, dedicado a la geometría y que tuvo una amplia difusión en Europa (traducido al inglés y francés): Intituzioni Analitiche ad uso della giovenù italiana. En un segundo tomo de las Instituciones, la parte dedicada al cálculo diferencial fué considerada como una de las mejores de la época. La Academia de París comentó en el análisis de dicho tomo: "... consideramos este tratado como la obra más completa y mejor escrita en el género". En el mismo hace un estudio de las curvas que pueden escribirse de la forma.

   Veamos, brevemente, cómo se generan.
Sea una circunferencia C y QT un diámetro. Desde Q trazamos una recta r que corta a C en A y desde T una tangente t. Ambas rectas se cortan, tal como indica la figura, en m. Por m trazamos una paralela al diámetro QT y por A una perpendicular a dicho diámetro. La intersección de ambas es el punto P. Deseamos saber qué gráfica describe el punto P al desplazarse A por la circunferencia. (Puedes ver otra posición de P considerando r´, determinado A´ y efectuando la misma construcción).

Como los triángulos QmT y QAH son semejantes podemos establecer la proporción Tm/HA = QT/QH de donde x/HA = a/y es decir
x y = a HA   (1)

Aplicando el teorema de la altura al triángulo rectángulo QAT resulta HA 2 = y (a - y)   (1). Despejando HA en (1) sustituyendo en (2) y resolviendo en y la expresión obtenida llegamos a

Para a = 1 en la expresión hallada tenemos
Una forma fácil (y eficaz) de obtener la gráfica de esta función es analizar el comportamiento de la expresión que aparece en el denominador: p(x) = x 2 + 1. Una función cuya gráfica es una parábola con las ramas hacia "arriba" y vértice en (0,1).

Como p(x) = x 2 + 1 ...entonces f(x) = 1 / p(x)
  • es positiva
  • es par (es decir p(x) = p(-x), simétrica respecto del eje OY)
  • es decreciente cuando x < 0
  • es creciente cuando x > 0
  • tiene un mínimo en (0, 1)
  • tiende a +Infinito cuando x tiende a +Infinito
  • tiende a +Infinito cuando x tiende a -Infinito
  • ... es positiva
  • ... es par
  • ... es creciente cuando x < 0
  • ... es decreciente cuando x > 0
  • ...tiene un máximo en (0, 1)
  • ... tiende a CERO (con valores positivos) cuando x tiende a +Infinito
  • ... tiende a CERO (con valores positivos) cuando x tiende a -Infinito
    De 6 y 7 podemos deducir que el eje de abscisas (y = 0) es asíntota horizontal de f.
Como p(x) no se anula en ningún punto de su dominio (real), podemos garantizar que f no tiene asíntotas verticales. Suficientes propiedades de f como para esbozar su gráfica, que figura en azul en el dibujo anterior.

Una interesante propiedad (para los amigos de pi, que somos todos) de f.
Como y = arc tag(x) es una primitiva de f resulta que al área limitada por f y su asíntota es ... PI. Mira, mira ...
Para comprobar la última igualdad sólo es necesario tener en cuenta la gráfica de la función y = arc tag(x) y que pi/2 y -pi/2 son sus asíntotas. Cuando x "tiende" a +Infinito entonces la función arc tag(x) se "aproxima" a pi/2 y cuando x "tiende" a -Infinito entonces la función arc tag(x) se "aproxima" a -pi/2.


Maria Gaetana Agnesi Hija de una familia acomodada, y muy numerosa, publicó a los 9 años una traducció en latín en defensa de la educación y formación de las mujeres. A edad muy temprana dominaba el latín y, bastante bien, el griego y hebreo.
Su padre ejerció una gran influencia sobre ella. Cuando, parece ser que afectada por la muerte de su madre, le solicitó hacerse monja éste se negó. Ella, a cambio, le pidió tres condiciones: asitir a la iglesia siempre que quisiera, vestir de una forma sencilla y no asistir a fiestas profanas. Se dedicó a estudiar libros religiosos y de matemáticas.
En 1738 publica una colección de ensayos filosóficos: Propositiones Philosoficae.
Su profesor, un tal Rampinelli, la animó a que escribiera los libros antes mencionados. Su posición acomodada hizo que preparase la impresión en su propia casa y entró en contacto con Riccati para comentar su trabajo.
El Papa Benedicto XIV influyó para que se le concediera la cátedra de matemáticas de Bolonia, pero no la aceptó. Murió a los 81 años, en Milán y en la Biblioteca Ambrosiana de dicha ciudad se conserva, en 25 volúmenes, su obra.

... y como verás nunca hemos hablado de brujas
  María Gaetana Agnesi