G.M. Historias
   La Conjetura de Goldbach.
Posible demostración a la conjetura Matemática de Goldbach
Prof. Mario Peral Manzo. U.P.N. México.

Conjetura de Goldbach
  (...) todo número, sea cual fuere, no es sino el número nueve o su múltiplo más un excedente, pues los signos de los números no tienen más que nueve caracteres.
Avicena (1)

Clawson apunta: "Junto con Goldbach, Euler fue miembro de la Academia Rusa de Ciencias. Ambos hombres sentían pasión por las series infinitas y los números primos. Goldbach, en una carta que le envió a Euler el 7 de junio de 1742, especuló que todo número par es la suma de dos primos [Conjetura binaria] y que todo número impar mayor que 2 es la suma de tres primos [Conjetura ternaria]" (2) .

El presente trabajo intenta ser base para una posible demostración de la "Conjetura Binaria de Goldbach" (CBG) que dice: cualquier número par mayor o igual a cuatro es resultado de cuando menos una suma de dos números primos. El planteamiento, aparentemente simple, no ha sido demostrado, desde su formulación, dada la infinidad de números naturales; de suerte que no se ha llegado a una generalización plausible que de una vez y por todas erija esta conjetura (presunción fundada) en teorema (proposición que afirma una verdad demostrable).

La demostración de la CBG, significaría un portentoso avance en la comprensión de los números primos (números solamente divisibles por sí mismos y por la unidad): de las razones de por qué se presentan con una aparente irregularidad o azar, además de cómo producirlos mediante algún algoritmo simple o complejo.

La utilidad de los números primos ya ha sido comprobada en la elaboración de cada vez más sofisticados códigos (la caja fuerte de la información restringida). Esto lo saben muy bien y de manera especial los países anglosajones (La Gran Bretaña y Los Estados Unidos de Norteamérica) quienes han tenido que lidiar con el problema de cómo esconder información "estratégica"; aún ahora cuando presumimos que ya no hay "guerra fría".

Por otro lado, supondría la elaboración de algoritmos más eficientes para el manejo de grandes volúmenes de información dado la inusitada evolución de los sistemas informáticos, en cuya base, desde luego, se encuentran las computadoras más poderosas, todavía muy lejos de ser accesibles para quienes contamos con las interfases (las computadoras personales).

No resulta extraño, pues, que a raíz de la publicación del libro de Apóstolos Doxadis (3) los editores de éste (Faber & Faber) hayan ofrecido un millón de dólares a quien dentro de los próximos dos años demuestre la CBG. Pero lo que no es de extrañar no es tanto la gran cantidad de dinero que se ofrece, sino el que se limite el jugoso reto a los residentes legales de la Gran Bretaña y de los Estados Unidos de Norteamérica. (4) ¿Es posible que una especie de fervor nacionalista semejante a la de Europa durante la época en la que, como ilustre ejemplo, el propio Fermat enunciara su célebre (última) conjetura, intente reservar el logro de esta hazaña únicamente a los países anglosajones mencionados?. (5) No lo creemos, pero resulta un poco incómodo que la mencionada editora evite la participación de los matemáticos de origen latino (europeo o americano). En todo caso sería deseable, tal vez, que alguna casa editorial abra un reto semejante para los matemáticos de todo el mundo.

Lo que sí es cierto, es que urge conocer mejor el "comportamiento" de los números primos en un mundo en el que es necesario una competente producción, manejo y circulación de un creciente volumen de información y ante la perspectiva de más eficientes ordenadores.

Las propuestas que se ofrecen en este escrito, tienen como base la idea de la existencia de una infinidad de sistemas en la naturaleza. Infinidad de sistemas que, aparentemente en relación caótica entre sí, requieren de una eficiente inversión de energía para obtener de ellos un razonable volumen de información (en forma de conocimiento y de tecnología).

Establecemos una analogía entre estos sistemas naturales y el conjunto de los números naturales (de hecho la operación con números han permitido describir coherentemente los procesos naturales; al cuantificar o medir hacemos que la incertidumbre se "colapse" en información útil para nuestros humanos fines).

Esta analogía se hace extensiva a la noción de entropía (la medida del caos); suponemos que tratando el conjunto de los números naturales como una infinidad de sistemas en interrelación, sus relaciones, particularmente las de los números primos, nos permitirán idear un modelo recursivo que nos ayude en el "colapso" para obtener información sobre lo enunciado en la CBG.

Para comenzar, suponemos que los números pares y los impares representan, cada uno, el cincuenta por ciento en el contexto del conjunto de los números naturales.

Nuestro punto de partida es un conjunto de doce presunciones. (6)

  • El número de sistemas existentes en la naturaleza tiende al infinito.

  • Los sistemas presentes en la naturaleza, aunque en número tiendan al infinito, de igual modo (dado que no están aislados unos de otros) tienden a igualar sus diferencias relativas, es decir, a alcanzar el máximo grado de entropía o equilibrio térmico dado que están inextricablemente interrelacionados mediante la información que portan.
    "La segunda ley de la termodinámica dice que la entropía de un sistema cerrado, es decir aislado, siempre aumenta o se conserva pero nunca disminuye. Cuando un sistema cerrado alcanza el equilibrio té>;rmico se encuentra en un estado de máxima entropía." (7)

  • Todo numeral (representación gráfica de un número) constituido por una o más cifras puede ser tratado como un sistema y, por consiguiente, como portador de información. Al respecto, Hayles afirma: "Supongamos que envío un mensaje que contiene la serie 2, 4, 6, 8... y le pido que continúe la secuencia. Como usted capta el modelo subyacente, puede ampliar la serie indefinidamente, aun cuando sólo se especifiquen unos pocos números. La información que tiene un modelo puede ser comprimida en formas más compactas. Yo podría haber enviado el mensaje en la forma: "cite los números enteros pares, empezando con el 2". Supongamos por el contrario, que le envío a usted la salida de un generador de números al azar. Cualquiera que sea la cantidad de números que yo transmita, usted no podrá continuar la secuencia. Cada número es una sorpresa; cada número transmite nueva información. Según este razonamiento, mientras más aleatorio o caótico es un mensaje, más información contiene." (8)

  • Limitándonos al conjunto de los números naturales, sabemos que éste está constituido por una infinidad de sistemas: los sistemas del subconjunto de los números pares (2n) y los del subconjunto de los impares (2n + 1). Al igual que estos dos subconjuntos, los números primarios por sí solos conforman una infinidad de sistemas.

  • La sustracción es una operación que hace evidente la diferencia entre dos sistemas (numerales) que comparamos entre sí.

  • Toda diferencia (producto de la sustracción) entre dos numerales puede ser cuantificada en términos de las desigualdades entre los valores absolutos de los dígitos que los constituyen.

    Consideremos por ejemplo la resta 87 - 78; restemos las diferencias entre sus valores absolutos... Para las decenas: 8 - 7 = 1 y para las unidades: 7 - 8= -1; vemos que la diferencia entre los valores absolutos de estos resultados es cero debido a la operación (1) + (-1) pues tanto el minuendo como el sustraendo de la sustracción ejemplificada comparten los mismos dígitos pero ordenados de distinto modo. Pero si consideramos los valores relativos de esas diferencias (1 decena menos una unidad) el resultado es de 9. En términos "absolutos" la información contenida en estos sistemas es la misma y, por consiguiente, el cambio es de cero para dichos sistemas considerados en conjunto; empero, en términos "relativos" hay un cambio desde el punto de vista de un sistema en relación con el otro.

    Si consideramos la resta como un todo, es decir, como un sistema aislado entonces, como afirma Abbot: "...esto debe dar a entender que el estado de equilibrio de un sistema aislado es aquél en el cual la entropía alcanzó su valor máximo con respecto a todas las variaciones posibles. La condición matemática para este máximo es: dSSISTEMA = 0 (sistema aislado)". (9)

  • De acuerdo con la anterior presunción: las diferencias entre valores absolutos de los dígitos de un numeral pueden ser expresadas en términos de la suma algebraica de esos mismos valores: (Sda) (suma de las diferencias entre los valores absolutos de los dígitos de los numerales involucrados en una sustracción).

    Para un mayor abundamiento, tomemos la resta: 231 - 123; vemos que para el caso de las centenas 2 - 1 = 1; para las decenas 3 - 2 = 1 y para las unidades 1 - 3 = -2. De este modo y para esta sustraccisn en particular, Sda = 1 + 1 + (-2) = 0

  • Las diferencias entre valores absolutos de los dígitos de un numeral pueden ser expresadas como una suma de los valores relativos de dichos dígitos (Sdr) y su resultado, si es mayor a 9, puede ser expresado en términos de Sda.

    Retomemos el ejemplo propuesto en la anterior presunción:
    vimos que Sda = 1 + 1 + (-2) = 0 y al realizar la suma algebraica de los valores relativos (Sdr) de estos sumandos, tenemos que Sdr = 100 + 10 + (-2) = 108; como 108 es mayor a 9, tendríamos que interpretarlo en términos de Sda nuevamente, o sea: Sda = 1 + 0 + 8 = 9. De esta suerte afirmamos que 9 es complemento de 0 dentro de una topografía recursiva, lo que nos lleva a...

  • La Sdr de un numeral complementa a Sda y permite la determinación del conjunto de SdN (suma de los valores absolutos de los dígitos de cualquier número natural) que asume (en calidad de información inicial) los valores comprendidos entre el 1 y el 9 inclusive.
    Como ejemplo: consideremos el numeral 24857; la suma de los valores absolutos de sus dígitos sería expresado así: Sda = 2 + 4 + 8 + 5 + 7 = 26 y como el resultado debe expresarse como un solo número dígito, entonces continuamos la suma, 2 + 6 = 8, resultado que debe ser tratado como información inicial pues, por razones expresadas en las siguientes presunciones, el numeral 24857 (aunque asume el valor de 8 del conjunto SdN) se colapsaría en la "Resultante" -1 (R - 1) por ser número impar dentro de una "topografía recursiva" constituida por los valores comprendidos entre -9 y 9 inclusive y por ser 8 y -1 complementarios dentro de esta topografía.
    El conjunto de "Resultantes" o parejas complementarias, se expresa como:
    R={(0,-9), (1,-8), (2,-7), (3,-6), (4,-5), (5,-4), (6,-3), (7,-2), (8,-1), (9,0)}
    por razones que se explican más abajo.
  • Las R señalan, dentro de una topografía recursiva, los estados más probables de un número infinito de numerales y es deducida del conjunto de las SdN; lo que, enlazando con la noción de "máxima entropía", nos lleva a la expresión: en el universo los sistemas tienden a equilibrarse, a eliminar sus diferencias relativas. Pues, tal y como subraya Césarman: "La posibilidad de utilizar el lenguaje de la termodinámica y el concepto de entropía como un común denominador en el caleidoscopio del conocimiento humano se debe al carácter general y universal de sus leyes, a que utiliza parámetros macroscópicos que no necesitan definirse en función de las innumerables variables microscópicas que los determinan, a que se manejan con pocas variables, a que es aplicable al estudio de los sistemas y a que todo en la naturaleza son sistemas compuestos por las continuas transformaciones de la materia y de la energía, a que todos los sistemas desde los más simples hasta los más complejos, son el resultado del arreglo de las partes más elementales de energía y de materia con que se ha estructurado el Universo y a que, por último, se trata de un lenguaje dinámico y no estático que corresponde al carácter continuamente cambiante de la naturaleza." (10)
  • Si el estado final de los sistemas en general pueden ser deducidos a partir de la igualación de sus diferencias relativas, entonces sus propiedades pueden ser deducidas, a su vez, de esos estados finales. En otras palabras, se puede determinar con probabilidad 1 la posición de cualquier número natural dentro de la topografía recursiva constituida por las R, cuya construcción se explica líneas más abajo. Esto es muy significativo para nuestro propósito de acercarnos a la conjetura binaria de Goldbach.

  La conjetura de Goldbach