G.M. Historias
  Inversiones Geométricas.   Francisco Javier Asencor
Dado un punto del espacio, O, que denominamos polo, decimos que un punto del espacio, P, es inverso de otro, Q, de potencia m, si O, P y Q están alineados y cumplen que la distancia OP multiplicada por la distancia OQ es igual a m > 0.
La transformación tiene la propiedad simétrica.

Se exponen aquí algunos resultados interesantes de esta transformación. Como espacio tomamos el plano, y sin perder generalidad tomaremos el origen de coordenadas como polo, y la unidad como potencia.

Cualquier conjunto de puntos exteriores a un circulo de radio unidad centrado en el origen tendrá todos sus inversos en este circulo, y viceversa.
Utilizando las coordenadas cartesianas, un punto determinado por el par (x, y) tiene su inverso en el punto (u, v) si:

Singularidades
El único punto que carece de inverso es propio polo. (Cuya inverso corresponde al infinito al anularse el denominador)
Los puntos de la circunferencia centrada en el origen de radio unidad son inversos de sí mismos. (al hacerse uno el denominador).

Figuras
Cualquier figura, mediante la inversión de los puntos que la componen, determina su figura inversa.

    Rectas    La inversa de cualquier recta que pase por el origen es ella misma. Esto no es cierto para todos los segmentos de dichas rectas. Sólo son inversos de sí mismos los segmentos comprendidos entre un punto y su inverso.
    Cualquier otra recta, no pasando por el origen, admite como expresión:
    2 ax + 2 by = 1
    y su inversa
    que operando puede escribrirse
    (u - a) 2 + (v - b) 2 = a 2 + b 2
    que es la ecuación de los puntos (u, v) que componen una circunferencia centrada en el punto (a, b) y que contiene el origen ().

    La inversa de la recta, azul, es una circunferencia, roja, que pasa por el polo.
    Recíprocamente, la inversa de una circunferencia que pasa por el polo es una recta.)

    Circunferencias    Los puntos (x, y) que forman una circunferencia centrada en el origen y de radio R, cumplen que x 2 + y 2 = R 2. La inversa de esta figura la componen los puntos (u, v) que cumplen
    por tanto constituyen una circunferencia centrada en el origen de radio 1/R.
    Es posible hallar la inversa de una circunferencia en general. Los puntos (x, y) que forman una circunferencia centrada en (a, b) y de radio R, cumplen que
    (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2
    La inversa de esta figura la componen los puntos (u, v) que cumplen
    Operando en esta expresión puede obtenerse

    una circunferencia centrada en

    pue no es inverso de (a, b) y de radio


Un ejemplo de aplicación
Tomemos dos circunferencias de radio unidad C g, tangentes entre sí en el origen, y tangentes a una recta C 0.
Consideremos la sucesión de circunferencias tal que la primera es tangente a C 0 y a las C g. Las siguientes, cada una tangente a la anterior y a las Cg. Como ilustra la figura.
La linea de centros de esta serie contiene el punto de tangencia de la primera con C 0 a una distancia unidad del origen. Se puede comprobar que los restantes puntos de tangencia se encuentran a distancias 1/2, 1/3, 1/4, ... formando la serie armónica. De manera más o menos laboriosa puede comprobarse para los primeros resultados utilizando rudimentos de geometría, pero se ofrece esta propuesta:

La figura de la izquierda representa las C g y la C 0 en azul mas una circunferencia de inversión en negro. La figura de la derecha representa su inverso. C 0 como una circunferencia interior, y las C g como rectas verticales.
Si encajamos entre las líneas verticales circunferencias sucesivamente tangentes a modo de pila, los puntos de tangencia se encuentran necesariamente a distancias 1, 2, 3, .... Puesto que al invertir esta figura reencontramos la sucesión propuesta, las inversas de estos valores son las distancias buscadas.

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