G.M. Historias
  Medidas indirectas.  
"...pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática"
Triángulos Semejantes Los triángulos MNP y ABP son semejantes: sus lados homólogos son proporcionales y sus ángulos iguales.

Corolario Dos triángulos rectángulos que tengan un ángulo agudo igual son semejantes.



Thales de Mileto
Se cuenta que Thales de Mileto (aprox. 611-545 a.C), uno de los "siete sabios de Grecia", utilizando la semejanza resolvió dos problemas:
  • calculó la altura de una pirámide en Egipto
  • determinó la distancia de una embarcación a la costa
  • También se le atribuyen las primeras demostraciones geométricas utilizando un lenguaje lógico. (Por ejemplo, que todo ángulo inscrito en una circunferencia es recto,

    que los ángulos opuestos por el vétices son iguales,
    etc.)

    " ... fué primero a Egipto y desde allí introdujo este estudio en Grecia". Proclo
    "Es el primer hombre en la historia al que se le atribuyen descubrimientos matemáticos concretos" Boyer

    Sello griegodedicado a Thales
    Sello de la República Griega dedicado a "Thales el Milesio"
    Cálculo de la altura de una pirámide
    Determinando la altura de la pirámide
    Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra, los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Podemos, por tanto, establecer la proporción
    H/S = h/s
    de donde
    H = (h.S)/s

    Cálculo de la distancia de una embarcación a la costa

    Distancia de un  móvil a la costa
    Colocado un observador en P (frente a la embarcación) y lanzando desde M una visual a B pueden determinarse los triángulos rectángulos OPB y MOP'. Como los ángulos MOP' y POB son opuestos por el vétice son iguales y por tanto los dos triángulos rectángulos son semejantes y podemos establecer la proporción siguiente:
    distancia (PB) es a la distancia (P'B) como
    distancia (OP) es a la distancia (OP')
    y todas esas distancias, excepto la buscada, pueden medirse directamente.

    Con el lenguaje actual de las proporciones podemos escribir:

    es decir:


    Eratóstenes de Cyrene ERATÓSTENES de Cirene (aprox. 276-194 a.C.). Director de la Biblioteca de Alejandría y contemporáneo de Arquímedes y Apolonio. Fué el primer matemático de la historia del que se tiene noticia que midió el radio de la Tierra.
    Se basó en dos hipótesis muy atrevidas para su época:
  • Los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra
  • La Tierra es redonda. (Una observación peligrosa si tenemos en cuenta que siglos después la verdad popular ponía en duda este hecho).
    Estableció también la oblicuidad de la Eclíptica (en 23º 51' 20") y de casi todos es conocida su famosa criba para calcular números primos.

  • Con la notación actual tendremos:
    tag (x) = s/h
    de donde:   x = arc tag (s/h)

    Un bastón de 2 metros arrojaría en Alejandría a las 12 una sombra de s = 2 . tag (7º 12') = 0,25 m aproximadamente (es decir, unos 25 cm) y en Siena el Sol incidiría ortogonalmente sobre el bastón y no arrojaría sombra.
    Determinando el radio de la Tierra
    Cuenta la historia que Eratóstenes observó que cuando un poste en Siena (actualmente Assuan) no proyectaba sombra, en Alejandría el mismo poste proyectaba una sombra de aproximadamente 7 grados y 12 segundos.
    Eratóstenes midió la distancia entre Siena y Alejandría (medidicón nada fácil para la época) y obtuvo que aproximadamente era de unos 5000 estadios (una medida de longitud griega). Pudo entonces establecer que si para un ángulo de 7º12' (ver figura) la distancia era de 5000 estadios para 360º, aproximadamente 50 veces más, debería ser de 5000 x 50 = 250000 estadios.
    No conocemos, con las medidas actuales, cuál es la longitud de un estadio. A través del historiador Plinio se ha podido establecer que es de, aproximadamente, unos 157,5 metros, por lo que
    250000 (estadios) x 157,5 (m) =
    = 39375000 (m) = 39375 (km)
    Teniendo en cuenta que la circunferencia total de la Tierra se estima actualmente en unos 40000 km, es de admirar el resultado obtenido por Eratóstenes. Ese error se debe, presumiblemente, a las técnicas primitivas de medición de la época (Siena y Alejandría no están a 5000 estadios exactamente) y la segunda a que ambas ciudades no se encuentran sobre el mismo meridiano, pero a pesar de todo ...


    ARISTARCO DE SAMOS (310-230 a.C.). Sólo se sabe, a ciencia cierta, que nació en Samos, que fué el primer científico griego que planteó y resolvió problemas astronómicos con sentido matemático, lo que hizo que tuviese la audacia de apartar los prejuicios de considerar a los astros como dioses (o al menos con rango divino) y que fué director del Liceo (284-269). Podemos situarlo cronológicamente entre Euclides y Arquímedes.

    Una pequeña variación en la medida del ángulo LTS lleva a grandes variaciones
       Ángulo x      tang (x)   
    87º19,08
    87º 30'22,90
    88º 28,64
    88º 30' 38,19
    89º 57,29
    89º 30'114,59
    89º 40'171,89
    89º 50'343,77
    Comparando distancias
    Relación entre las distancias de la Tierra, Sol y la Luna.
    Aristarco observó que cuando la mitad de la Luna está iluminada el triángulo SLT es recto. Estimó que el ángulo LTS = x era de unos 87º (aunque obtuvo valores comprendidos entre 86º 49' y 87º 8').
    Teniendo esto en cuenta y con la notación actual de la trigonometría resulta que
    siendo d(TL) y d(TS) las distancias de la Tierra a la Luna y al Sol respectivamente. Como 1/cos (87º) es aproximadamente igual a 19, resulta que
    distancia (TS) = 19 distancia (TL)
    Hoy sabemos que ese resultado no es cierto, pues dicha relación es de aproximadamente unas 400 veces, d(SL) = 400 d(TL).

    A pesar de lo ingenioso del método, los instrumentos de medidas de la época jugaron a Aristarco esta mala pasada.


    Aristarco observó que desde la Tierra, la Luna y el Sol se ven bajo un ángulo de 0,5°.

    Como d(TS) = 19 d(TL) los diámetros DS y DL, del sol y la Luna se encontrarán en la misma porporción, es decir DS = 19 DL


    Sus obervaciones astronómicas le hicieron elaborar el siguiente modelo al observar que el diámetro de la Luna recorría dos veces la sombra terrestre durante un eclipse. En las figuras DT, DL y DS son los diámetros del Sol, la Tierra y la Luna respectivamente y d(TS), d(TL) las distancias entre el Sol y la Tierra y la Tierra y la Luna.
    d es una variable auxiliar que desaparecerá en cálculos posteriores.
    Como los triángulos VCC' y VAA' son semejantes

    (1)

    Análogamente, al ser VCC' y VBB' semejantes

    (2)

    Despejando d en (1) y teniendo en cuenta que DS = 19 DL resulta .
    Sustituyendo en (2) llegaremos a que de donde DS = 6,67 DT

    De esta forma obtuvo Aristarco, y pudo calcular, la relación de los diámetros del Sol y la Luna en función del diámetro de la Tierra.

    Veamos, por último, cómo obtuvo la distancia entre la Tierra, la Luna y el Sol.

    Como podemos colocar 360 * 2 = 720 veces el diámetro de la Luna sobre la órbita que ésta describe alrededor de la Tierra resulta:

    2 pi d(TL) = 720 DL

    de donde d(TL) = 40 DT y como d(TS) = 19 d(TL) resulta d(TS) = 760 DT


    Hoy sabemos que estas medidas no son ciertas, pero el método elaborado por Aristarco ha sido, y es, un ejemplo de cómo el hombre mediante la observación y el ingenio pudo llegar a obtener un método de trabajo riguro, esto es un método científico. Aristarco puede ser considerado como uno de los precursores de la teoría heliocétrica, pero sus modelos cayeron, frente a los de Aristóteles, en el olvido y no serían reedescubiertos hasta mucho tiempo después.

    Los trigonometría es una poderosa herramienta matemática que nos permite hacer infinidad de medidas indirectas. Para ello sólo necesitaremos un metro y un aparato que nos permita medir ángulos.

    Desde aquí puedes ver una sencilla aplicación de cómo el príncipe Redondity salvó a la princesa Floripondia.

      Algunas medidas indirectas  
    Deseamos medir la distancia entre A y B siendo B inaccesible.
  • Fijamos una posición cualquiera N y medimos su distancia a A. Sea d.
  • Medimos los ángulos x e y (por lo tanto podemos conocer z).
  • Aplicamos el teorema del seno al triángulo obtenido
  • Deseamos medir la distancia entre A y B siendo ambos inaccesibles.
  • Fijamos los puntos M y N y medimos la distancia entre ellos; sea d
  • Desde M podemos medir el ángulo x y desde N el ángulo y; de esta forma podemos conocer al ángulo A
  • aplicando el teorema del seno al triángulo NMA podemos conocer MA
  • Desde N realizamos la misma operación, ahora para el triángulo MNB, y medimos x' e y' (con lo que conocemos el B) y aplicamos a dicho triángulo el teorema del seno y calcular MB
  • Para calcular la distancia entre A y B basta aplicar el teorema del coseno al triángulo MAB


  •   Medidas indirectas