Reseñas Matemáticas
Cicloide
Cicloide
Ecuaciones paramétricas de la cicloide
x = R(t - sen(t))
y = R(1 - cos(t))
Cicloide
Si un cículo rueda sin desplazarse sobre una superficie, un punto P de su circunferencia describe una trayectoria denominada cicloide.

Como el círculo rueda sin desplazarse

P o N = arco (NP) = Rt

(siendo R el radio del círculo que se desplaza).
Calculemos las coordenadas de un punto genérico P(x,y) de la trayectoria.
x = P o M = P o N - MN =
= Rt - R sen(t) = R(t - sen(t))

Igualmente
y = PM = SN = ON - OS =
= R - R cos(t) = R(1 - cos(t))
Veamos qué longitud recorre un punto cualquiera P de dicha trayectoria desde el comienzo hasta un determinado valor k del ángulo t (parámetro sobre el que hemos construido las ecuaciones).
Una determinada longitud vendrá dada por siendo ds el elemento diferencial de arco cuya expresión es
Diferenciando x(t) e y(t) tendremos
dx = R(1 - cos(t))dt       dy = R sen(t) dt

Elevando al cuadrado y operando resulta

El cálculo de dicha integral es inmediato; sólo es necesario tener en cuenta que

con lo que

Teniendo dicha expresión en cuenta resulta que cuando un círculo de radio R da una vuelta completa (t = 360º) la longitud de un arco de cicloide es 8R.

La Cicloide tiene varias e interesantes propiedades. A título de ejemplo sobre una cicloide invertida, si soltamos a la vez las bolas marcadas en las posiciones A, B y C todas llegarán al punto P al mismo tiempo.
... pero ese será tema de otro día.