Reseñas Matemáticas
Campo complejo (Apuntes)

Potencias de e
Sean las siguientes definiciones analíticas de e z, sen(z) y cos(z)

A las que se llegan desarrollando en serie.

Sustituyendo en [1] el valor de z por el de yi, y agrupando convenientemente, tendremos:

y en virtud de [2] y [3] resulta
e yi = cos(y) + i sen(y)

Como el producto de potencias en el campo complejo sigue las mismas reglas que en el campo real, podemos escribir:

e a + bi = e a e bi = e a (cos(b) + i sen(b))
Logaritmos neperianos en el campo complejo
Se definen igual que en el campo real.
Logaritmo neperiano de un número complejo z es el exponente w a que hay que elevar e para obtener z.
Según dicha definición podemos poner
   (4)
Supongamos
sustituyendo en (4)
e igualando componentes
lo que nos permite establecer

A todo número complejo le corresponden infinitos logaritmos neperianos. La componente real de todos ellos es el neperiano de su módulo r, y la componente imaginaria la forman los infinitos argumentos que se obtienen para todos los valores enteros de k.
Cuando k toma el valor 0 se obtiene el logaritmo principal que se expresa simplemente por ln(z) para para distinguirlo del caso general, que se expresaría por ln((z)) ó ln{z}

Ejemplo

-jcb-