Reseñas Matemáticas
Teorema de Morley
Teorema de Morley
Aplicando el terema del seno al triángulo BXA resulta
Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de dicho teorema en el triángulo BCA
siendo r el radio de la cincunferencia ciscunscrita a dicho triángulo.
Como, además 3a + 3b + 3g = 180º resulta
a + b + g = 60º
Despejando en (#1) y tendiendo lo anterior en cuenta

Es decir
AX = 8r sen(b) sen(g) sen (60º + g)      (#2)

Análogamente

AY = 8r sen(b) sen(g) sen (60º + b)      (#3)

Por otro lado, aplicando el teorema del coseno al triángulo XYA

XY 2 = AX 2 + AY 2 - 2 AX AY cos(a)

y sustituyendo (#2) y (#3) tendremos

por tanto
XY = 8r sen(A) sen(B) sen (g )
y por simetría
XY = YZ = XZ    c.q.d.

Puede calcularse el corchete de la última expresión mediante el siguiente cambio de variable

60º + b = x; 60º + g = y; a = z
Como a + b + g = 60º resulta x + y + z = 180º de donde z = 180º - (x + y) y
cos(a) = cos (z) = cos [180º - (x + y)] = cos (x + y)

Entonces, el contenido del corchete es igual a

sen 2 (x) + sen 2 (y) + 2 sen(x) sen(y) cos(x + y) =
= sen 2 (x) + sen 2 (y) + 2 sen(x) sen(y) (cos(x) cos(y) - sen(x) sen(y) =
= sen 2 (x) (1 - sen 2 (y)) + sen 2 y (1 - sen 2 (x)) + 2 sen(x) sen(y) cos(x) cos(y) =
= (sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y)) 2 = sen 2 (x + y) = sen 2 z = sen 2 (a)
-jcb-