Reseñas Matemáticas
Teorema de Carnot  
Sea O el circuncentro del triángulo y X, Y y Z los puntos medios de los lados a, b y c respectivamente, R y r los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente.
El teorema dice que
OX + OY + OZ = R + r
siendo OX, OY y OZ positivos si el circuncentro esta en el mismo semiplano respecto al lado correspondiente que el vértice opuesto, y negativo en caso contrario.

Utilizamos S = (ABC), Sa = (OBC), Sb = (OCA) y Sc = (OAB) para las áreas de los respectivos triángulos, y s = (a + b + c)/2 para el semiperímetro del ABC.
1) Triángulo es acutángulo (circuncentro interior)
Hagamos OX = x, OY = y, OZ = z.
Aplicando el Teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros cíclicos OYAZ, tenemos:
(c/2) y + (b/2) z = (a/2) R cy + bz = aR     (#1)
Igualmente para OZBX y OXCY,
az + cx = bR     (#2)
bx + ay = cR     (#3)
S = Sa + Sb + Sc ax + by + cz = 2S     (#4)

Sumando (#1), (#2), (#3) y (#4), resulta

x (a + b + c) + y (a + b + c) + z (a + b + c) = R (a + b + c) + 2S
(x + y + z) 2s = R 2s + 2S
(x + y + z) s = Rs + rs
x + y + z = R + r OX + OY + OZ = R + r

2) El triángulo es obtusángulo (circuncentro exterior)

Hagamos OX = x, OY = y, OZ = -z.
Aplicando el Teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros cíclicos OZYA, tenemos:
(a/2)R + (b/2)z = (c/2)y aR + bz = cy aR = cy - bz     (#1)
Igualmente para OZXB y OXCY,
az + bR = cx bR = cx - az     (#2) bx + ay = cR cR = bx + ay     (#3) S = Sa + Sb - Sc ax + by - cz = 2S     (#4)

Sumando #1, #2, #3 y #4,

x (a + b + c) + y (a + b + c) - z(a + b + c) = R (a + b + c) + 2S
(x + y - z) 2s = R 2s + 2S
(x + y - z) s = R s + r s x + y - z = R + r
OX + OY + OZ = R + r

3) Triángulo rectángulo (circuncentro en la hipotenusa)
Basta hacer z = 0 en cualquiera de los casos anteriores.

Ignacio Larrosa


Nota    El teorema de Ptolomeo dice: Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales

AB × DC + BD × AC = AD × BC
Si el cuadrilátero es un rectángulo resulta el teorema de Pitágoras