Reseñas Matemáticas
Producto vectorial
Introducción.  Dados los vectores a y b linealmente independientes de E3(R) deseamos calcular todos los vectores que que son simultáneamente perpendiculares a a y b. En todo momento nos referimos a la base ortonormal { e1, e2, e3 }

Sean { a1, a2, a3 } y { b1, b2, b3 } las coordenadas de a y b respecto de la base dada y (x, y, z) las coordenadas de un vector genérico x que deseamos cumpla las condiciones de perpendicularidad que se han indicado.

Si dicho vector ha de ser perpendicual a a y b el producto escalar de cada uno de ellos por x es cero. Por tanto

siendo pues a y b linealmente independientes. Teniendo esto en cuenta resulta que el sistema anterior es compatible indeterminado con grado de indeterminación 1. Resolviéndolo, por ejemplo por el método de Crámer, resulta
Para el valor una solución es
que es una base del conjunto de vectores que son perpendiculares a a y b. (Evidentemente la dimensión de dicho subespacio es 1).

Definimos  , teniendo en cuenta lo anterior, el producto escalar de los vectores a(a1, a2, a3) y b(b1, b2, b3), referidos a una base ortonormal { e1, e2, e3 } por

Las propiedades del producto vectorial enunciadas a continuación son inmediatas teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes:
  • el producto escalar no es conmutativo;
  • el ortogonal a a y a b (por construcción)
  • (siendo || a || la norma (o módulo) del vector a)
  • a y b son linealmente dependientes
  • Si a y b son linealmente independientes entonces a, b y forman una base.

El producto vectorial tiene una sencilla e importante interpretación geométrica que resuelve bastantes problemas. La norma (o módulo) del vector producto vectorial es igual que el área del paralelogramo determinado por los vectores que lo definen.
Si el águlo determinado por los dos vectores es agudo resulta S = || a || h = || a || || b || sen(a)
Por otra parte
|| ab || 2 = || a || 2 || b || 2 - (a b) 2 = || a || 2 || b || 2 - (|| a || 2 || b || 2 cos 2(a)) =
= || a || 2 || b 2 || (1 - cos 2(a)) = || a || 2 || b 2 || sen 2(a))
|| ab || = || a || || b || sen 2(a)) = S

(Si el ángulo es obtuso, entonces b = p - a y tendremos

h = || b || sen (p - a) = || b || sen (a) como en el caso anterior).

Dos aplicaciones geométricas interesantes son:

  • el cálculo del área de un triágulo;
  • la distancia de un punto a una recta.
  • Ejemplo 1  Para calcular el área del triángulo de vértices A(0,0,0), B(1,2,3) y C(1,0,-2) basta calcular el producto vectorial de los vectores AB y AC y dividir el resultado por 2. (Como puede desprenderse intuitivamente de la figura adjunta)

    Ejemplo 2   Para calcular la distancia del origen de coordenadas O(0,0,0) a la recta r basta elegir un punto de la recta, por ejemplo A(0, -1,2) y considerar el vector AO. La distancia buscada es la altura del paralelogramo determinado por los vectores v y AO. La base de dicho paralelogramo es el módulo de v. Tendremos por tanto