G.M. Historias
  Plimpton 322.  
Tabla Plimpton 322
El teorema de Pitágoras es, sin duda, el teorema más popular de toda la matemática. Ya se conocía desde tiempo de los babilonios y aparece por primera vez impreso en la tablilla (aprox. 1900-1600 a.C.) denominada Plimpton 322 (por tener ese número de la colección del mismo nombre) que se encuentra en la Columbia University Library (N.Y.). En ella, aparecen cuatro columnas de números entre las que se desprende un aceptable dominio de las ternas pitagóricas.
La tabla fué descifrada por Neugebauer y Sachs (Mathematical Cuneiform Texts -1945-) y ahí están las 6 primeras filas

Los números de la columna primera, tercera y cuarta (con fondo amarillo) son ternas pitagóricas. Parece que los babilonios llegaron a calcular estos valores según un elaborado procedimiento algebraico, hecho que no es en absoluto descartable. Pastor y Babini, refiriéndose a los pitagóricos, dicen: ´´[...aunque en el estudio de los tripletes no lograron la generalidad de los babilonios]´´
A partir de la expresión
a 2 + b 2 = c 2
dividiendo ambos miembros por b 2 resulta:
y haciendo el cambio de variable tenemos u 2 + 1 = v 2 expresión equivalente a
(v - u)(v + u) = 1
Haciendo el cambio de variable
obtenemos
De esta forma podemos obtener ternas pitagóricas sin más que dar valores a x e y

b a c (c/b) 2 δ x y
120 119 169 1,9834028 45º 14´ 23.038´´ 12 5
3456 3367 4825 1,9491586 45º 44´ 50.389´´ 64 27
4800 4601 6649 1,9188021 46º 12´ 45.553´´ 75 32
13500 12709 18541 1,8862479 46º 43´ 43.28´´ 125 54
72 65 97 1,8150077 47º 55´ 29.921´´ 9 4
360 319 481 1,7851929 47º 39´ 53.962´´ 20 9
2700 2291 3541 1,7199837 --- --- ---
960 799 1249 1,6927094 --- --- ---
600 481 769 1,6426694 --- --- ---
6480 4961 8161 1,5861226 --- --- ---
60 45 75 1,562500 --- --- ---
2400 1679 2929 1,4894168 --- --- ---
240 161 289 1,4500174 --- --- ---
2700 1771 3229 1,4302388 56º 44´ 17.133´´ 50 27
90 56 106 1,3871605 58º 6´ 33.15´´ 9 5
Además de las tres columnas con las ternas pitagóricas, aparece una cuarta columna que es la relación, al cuadrado, que existe entre la hipotenusa y uno de los catetos.
De esta forma podían conocer los ángulos de los triángulos rectágulos considerados. Podemos observar que la tabla parte de un ángulo δ de aproximadamente 45º y va aumentando hasta aproximadamente 60º. Sobre fondo gris están los valores de δ y los de x e y para calcular los lados del triángulo (En la tabla sólo aparecen los valores sobre fondo amarillo)

No es probable que los babilonios conocieran estas relaciones trigonométricas, pero pudieron llegar a dicho resultado a partir de los valores de x e y teniendo en cuenta que

Nota   Los valores que aparecen en la tabla marcados por --- quedan a cargo del lector interesado

  Plimpton 322