(#24) LANZAMIENTO DE UNA MONEDA Se lanza 8 veces una moneda no trucada.
¿Qué es más probable obtener 2 caras ó 6 caras?.
¿Qué número de caras es más probable obtener?

Solución enviada por marcelus
El número de caras que se obtienen sigue una distribución binomial.
Si la moneda no esta trucada la probabilidad de sacar cara o cruz en una tirada cualquiera es 0,5.
La probabilidad en la distribución binomial (con p = 0,5) es:
P(x = q) = C n,q 0,5 q 0,5 n - q
Por lo tanto sólo varía la parte combinatoria. Como 2 es 8 - 6 tenemos que la parte combinatoria es la misma para ambos casos, a saber:
C 8,2 = 8¡/(2¡ 6¡)
C 8,6 = 8¡/(6¡ 2¡)

La probabilidad es, por tanto:
P(x = 2) = P(x = 6) = [(0,5) 8] * [8¡/(2¡ 6¡)] = 0.109375

Y por ser como es esta distribución, se tiene la mayor probabilidad para q = 4.Dicha probabilidad es: 0.2734375.
Una solución intuitiva facilitada por Jacinto Ruiz
Hola, amigos, creo tener la solución al problema del lanzamiento de 8 veces de una moneda .
Por pura intuición, obtener 0 caras es tan probable como obtener 8 caras
Obtener 1 cara es tan probable como obtener 7 caras
Obtener 2 caras es tan probable como obtener 6 caras
Obtener 3 caras es tan probable como obtener 5 caras
Obtener 4 caras implica obtener 4 cruces y ambos sucesos son igual de probables y este valor es el máximo posible en cuanto a más probable.
Otra solución intuitiva facilitada por Zubi
La probabilidad será la misma, ya que obtener 6 caras es igual a obtener 2 cruces y como la moneda no está trucada la probabilidad de una cara y de una cruz son iguales.
P(6 caras) = P(2 cruces) = P(2 caras) = P(6 cruces)

¿Qué número de caras es más probable obtener?
El número será de 4 ya que la probabilidad de las caras es igual al de las cruces.
Generalización Calculemos el mínimo de C m,n = m!/n!(m-n)! m es un parámetro, y n es la variable 1 <= n < = m
C m,n es máximo cuando n!(m - n)! es mínimo. Para el caso del problema, m = 8 tenemos que para n = m/2 = 4 obtenemos la probabilidad máxima.
Sea m par
Tenemos que
(m/2 + 1)! (m/2 - 1)! > (m/2)! (m/2)!
ya que
(m/2 + 1)(m/2)! (m/2 - 1)! > (m/2)(m/2 - 1)!(m/2)!

Sea p tal que m/2 < p <= m - 1. Por inducción, se cumple

(m/2 + p)! (m/2 - p)! > (m/2)!(m/2)!

Si m es impar, el mínimo será n = m/2 + 0,5
Luego C m,n es máximo cuando n = m/2 y al lanzar una moneda m veces, tenemos una máxima probabilidad de obtener m/2 caras (o cruces)..o bien m/2 + 0,5, si m es impar.


 
  (#24) Lanzamiento de una moneda