(#027) MOSAICO
De un mosaico cuadrado compuesto de triángulos rectángulos y de rombos, se sabe que su lado está formado por los lados de cuatro rombos y las hipotenusas de dos triángulos, tal como se indica en la figura.
Los lados de los rombos miden 1 unidad y los catetos de los triángulos rectágulos también miden 1 unidad.
¿De cuántas piezas está compuesto el mosaico? (triángulos + rombos).
lado

Esta es mi solución de MOSAICO:
1. Se calcula el área de cada triángulo (At):
Al ser rectángulos, se pueden tomar los catetos como base y altura y resulta At = 0,5 x 1 x 1 = 0,5 unidades. (número racional)

2. Se calculan la hipotenusa (h) y la otra altura (ah):
h = sqrt(2) (sqrt = raíz cuadrada)
At = 0,5 x h x ah y como se conocen At y h, resulta ah = sqrt(2)/2

3. Se calcula el área de cada rombo (Ar)
Una forma fácil es considerar cada rombo como dos rectángulos isósceles.
El área de cada uno de estos triángulos es 0,5 x 1 x ah = 0,5 x 0,5 x sqrt(2)
Y como son dos rectángulos por rombo, Ar = 0,5 x sqrt(2) (número irracional)

4. Con esto ya se pueden calcula el lado y el área del cuadrado:
Lado = 4 x 1 + 2 x sqrt(2) = 4 + 2 sqrt(2)
Área = (4 + 2 sqrt(2)) 2 = 24 + 16 sqrt(2)

Como se ve este área viene expresada por la suma de un número racional y otro irracional, y dado que no hay modo de conseguir un número racional sumando números irracionales (ni lo contrario), se concluye que la parte racional (24) corresponde a las áreas de los triángulos (que deben ser 48) y la parte irracional 10 x sqrt(2) a las áreas de los rombos (que deberán ser 32).

Así, el número total de rombos y triángulos del mosaico será de 48 + 32 = 80.
No se si ha resultado una explicación muy larga.

Información adicional de la G.M.
No es una explicación muy larga, es una explicación perfecta.
Un ejemplo de este mosaico es el dado. No es único como facilmente puede comprobarse, por ejemplo, girando los triángulos de los cuadrados interiores, pero el número de triángulos y rombos es invariante. Si deseas saber la historia de este problema pulsa aquí

 
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