(#034) LA MATRÍCULA DEL COCHE
Dos amigos, que saben muchas matemáticas, paseando tranquilamente por la calle observan un accidente y el coche se da a la fuga. No recuerdan la matrícula (de cuatro cifras) pero si que las dos primeras cifras eran iguales, las dos últimas también eran iguales y de que el número era un cuadrado perfecto. Con estos datos, ¿cómo pudieron reconstruir la matrícula?
(No utilizaron ordenadores ni calculadoras).

Solución
La matrícula del coche es 7744.
El número tiene las dos primeras cifras iguales, y las dos últimas iguales, esto es, es de la forma aabb, dicho de otra manera, el número en cuestión es a*1100 + b*11. De aquí se desprende inmediatamente que es múltiplo de 11. Como ha de ser un cuadrado perfecto, dicho cuadrado perfecto ha de ser un múltiplo de 121.
Escribiendo esto: a*1100 + b*11 = c*121, o, lo que es lo mismo, a*100 + b = c*11, es decir, son números de la forma a0b y a la vez múltiplos de 11, con lo que la suma de a y b debe ser 11 (a + b = 11). Además, si el número ha de ser cuadrado perfecto, nos da para b las posibilidades 1, 4, 5, 6, 9.
b = 1 es imposible, porque a <= 9 y a = 10 es absurdo. Así que sólo tenemos 4 casos: 2299, 5566, 6655, 7744. Aquí ya es sencillo descartar posibilidades. Y llegamos a que es 7744 = 88 2
Saludos.
PD: Ha sido un problema muy divertido :-)

 
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