(#38) CUADRADO PERFECTO
Demostrar que el número
N = 4444.. (n veces)..4448888..(n - 1 veces)...8889
en donde el 4 aparece n veces y el 8 aparece n - 1 veces es un cuadrado perfecto.

Solución
Hay que demostrar que el número
N = 44444...(n veces)...444888...(n - 1 veces)...888
es siempre un cuadrado perfecto.
En primer lugar
Supongamos que N(n) no es un cuadrado perfecto, es decir, para algún n, no puede ponerse de la forma (2k + 1) 2, siendo k un número entero.
Observación: N(n) es impar, luego tampoco puede puede ponerse de la forma
(2 k) 2. Entonces
es decir, M no es par.
Demostraremos por inducción sobre n, que el número es un número entero par, con lo que se tendrá una contradicción y tendrá que ser N cuadrado perfecto.
Primero probaremos, comprobaremos que M es entero, es decir, veamos que 10 2n + 10 n - 2 es un múltiplo de 9.
  • Para n = 1 resulta: 100 + 10 - 2 = 9.12
  • Suponemos que se cumple para n
  • Lo demostramos para n + 1
10 2(n + 1) + 10 (n + 1) - 2 =
= 10 2n.10 2.10 - 2. 99.10 2n + 9.10 n + (10 2n + 10 n - 2) =
= 9.(11.10 2n + 10 n) + (10 2n + 10 n - 2)
que es un múltiplo de 9, al serlo el segundo sumando por hipótesis de inducción.

Veamos ahora que M es par.

  • Para n = 1 resulta M = 12
  • Lo suponemos cierto para n
  • Lo demostramos para n + 1
  • que es par, pues el primer sumando lo está multiplicado por 10 n y el segundo es par por hipótesis de inducción.

    Nota de la G.M.
    También podemos resolver el problema efectuando cálculos.

    N = 9 + (8.10 + 8.10 2 + ... + 8.10 n - 1) + (4.10 n + 4.10 n + 1... + 4.10 2n - 1) =
    = 9 + 8.(10 + 10 2 + ... + 10 n - 1) + 4. 10 n(1 + 10 + 10 2 + ... + 10 n - 1)

    Cada uno de los paréntesis de la última igualdad (y los otros también, pero hemos seguido hasta ahí para mayor claridad en el cálculo) son sumas de progresiones geométricas de razón 10, por lo que

     
      (#38) Cuadrado perfecto