(#041) El problema de REGIOMONTANO
En 1471 el matemático Johannes Müller planteó el problema de a qué distancia debe situarse un observador para que una estatua situada en un pedestal le parezca lo mayor posible. Es decir, que las visuales desde sus ojos al pié y a la parte más alta de la estatua formen el ángulo mayor posible. Los casos más interesantes se presentan cuando el observador está situado por encima de la parte más alta de la estatua o por la más baja. El caso en que el observador esté situado a la altura de la estatua es trivial, pues la verá mayor cuanto más se acerque.
¿ A qué distancia deberá situarse un observador de 1,70 metros de altura para ver lo mayor posible una estatua de 2 metros de altura situada sobre un pedestal de 3 metros. ?

Johannes Mueller (o Müller) nace en Koenisberg el 6/6/1436 y muere en Roma el 6/7/1476. Corrige las Tablas Alfonsinas y traduce el Almagesto de Tolomeo. Funda en Nürember el primer observatorio europeo y participis en la reforma del calendario por lo que fue llamado a Roma por Sixto IV.

Estatua

Solución
Primer Caso.    0 <= h < L
Teniendo en cuenta la figura adjunta resulta
Puesto que
sustituyendo estas expresiones en la igualdad anterior resulta
siendo k = L - h. Esta expresión es función de x; derivando e igualando a 0 resulta

En nuestro caso resulta k = L - h = 3 - 1,7 = 1,3; H = 2; L = 3; h = 1,7 por lo que x = 2,07
Puede comprobarse que para dicho valor la segunda derivada es menor que 0.

Segundo Caso.
L < h < L + H

Son evidentes las siguientes relaciones entre los ángulos de la figura:
por lo que
Teniendo en cuenta que
y procediendo de forma análoga a la anterior (es decir derivando e igualando a 0) llegamos a la conclusión que x = 0. Es decir cuanto más se acerque a la estatua mayor la verá.

Tercer Caso.
h > L + H

Basta tener en cuenta que y que

Comentario adicional de la G.M.  
Puede probarse que si se traza una circunferencia que pase por los extremos de la estatua y sea tangente a la visual del observador, la distancia de dicho punto de tangencia a la estatua es la distancia pedida.
Teniendo esta consideración en cuenta pasamos a resolver el caso propuesto.
Consideremos el punto P de corte entre la visual y la recta determinada uniendo el extremo superior e inferior de la estatua. En el caso que nos ocupa resulta PB = 3 - 1,7 = 1,3; PA = 3,3; PT = x
La potencia del punto P respecto de dicha circunferencia verifica
PT.PT = x 2 = PA.PB
de donde x 2 = 1,3 * 3,3 resultando x = 2,07.

 
  (#41) El problema de Regiomontano