Esquema del problema
(#047) El pasajero herido.
En un barco ha resultado herido un pasajero. El mismo está situado a 30 km de un punto de la costa que está a 60 km de un hospital. Desde el hospital sale una ambulancia a la velocidad media de 50 km/h y, desde el barco, una lancha rápida, con el herido, a la velocidad media de 20 km/h. ¿En qué punto de la costa deben encontrarse ambas ?. Indicar la trayectoria de la lancha.

Solución remitida por Luis
Se trata de encontrar un punto P de la coste donde han de encontrarse la lancha y la ambulancia, para minimizar el tiempo total que se emplea en llevar el herido al hospital. Como la ambulancia siempre esperará a la lancha en cualquier punto de la costa, el tiempo total T será la suma del tiempo que tarda la lancha en ir desde el barco a la costa (tL) y del tiempo que tarda la ambulancia desde el punto de encuentro al hospital (tA)


Derivando respecto de alfa

Fácilmente se comprueba que T es mínimo para


Luego XA = 60 - 30 tang (alf) = 46,91
La trayectoria es alfa = 23º 34´ 41.443"

Solución facilitada por Zubi
Posible solución al problema del herido en el barco:
Como lo importante en este caso es llegar cuanto antes con el herido al hospital, calcularemos el tiempo mínimo necesario en función de la distancia. Para esto diremos que el tiempo será:
T(total) = T1 (recoger al herido) + T2 (llevarlo hasta el hospital)

Si la lancha llevara al herido perpendicularmente hasta tierra (el camino más corto para la lancha)
T1 (lancha) = 30/20 > T2 (ambulancia) = 60/50
con lo que tenemos T = 1,5 + 1,2 =2,7 horas Vamos a buscar un camino en función de la distancia. Supongamos que el punto donde se cambian el herido entre la lancha y la ambulancia está a "x Km" del hospital, según vemos en la figura adjunta.

Resolviendo el triángulo rectángulo rojo tenemos:

30 2 + (60 - x) 2 = Distancia Lancha = (20 * T1) 2

de donde

Por lo cual el tiempo total será de:

Como queremos encontrar un mínimo de la función T(x) derivamo e igualamos a cero, llegando a:

operando tenemos que
84 X 2 + 10080 X + 288000 = 0

que tiene por soluciones: 73,0930 y 46,9069.
Deshechamos la primera solución porque no cumple los requerimientos del problema y nos quedamos con la segunda.
Luego se tienen que encontrar en el punto de la costa que se encuentra a 46,9069 (=46,91 Km) del hospital.
Y el tiempo que tardará en llegar al hospital el enfermo será
T1 = 1,636634 h y T2 = 0,938138 h de donde T = 2,57 horas.

 
  (#47) El pasajero herido