(#049) ¿A qué distancia cae el pico del pañuelo?
Un pañuelo está sujeto a la pared como indica la figura 1. Se sueltan las chichetas A y B y queda en la posición de la segunda figura. ¿A qué distancia queda el pico A del lado inferior del pañuelo?.
El pañuelo es cuadrado y de lado a.
Figura 1 Figura 2

Solución
Una manera sencilla de demostrarlo es usando vectores. Situando el cuadrado en unos ejes adecuados y con un cambio de escala puedo obtener las siguientes coordenadas A(0,1), D(1,1/2), C(1,1), etc. (El autor ha colocado el origen de coordenadas en el pico F). El punto A´ (punto A cuando se han soltado las chinchetas) está sobre la línea AG. El vector AG tiene por coordenadas
(1/2, 0) - (0,1) = (1/2, -1)
cuyo módulo es , por tanto dividiendo por este número obtengo un vector unitario en la misma dirección
La distancia de A a CD será y como el vector AAá tiene como módulo el doble de dicha distancia queda
Finalmente llamando O al origen (que el autor había colocado en F)
Luego la altura del punto A´ es 1/5 y con el cambio de escala a/5.
Otras formas de resolver el problema
Por trigonometría
Los triángulos rectángulos QBA y MPA son semejantes (lados perpendiculares), luego
ángulo QBA = ángulo PAM = t
En QBA tenemos tag (t) = 1/2 y conocemos t:
t = arctag (1/2)
Por otra parte en HBA: AH = a sen(t) por lo que
AP = 2 AH = 2a sen(t)
y en MPA es AM = AP cos(t)
Sustituyendo en dicha expresión la anterior resulta
AM = 2a sen(t)cos(t) = 2a 0,4 = 4/5 a
Por tanto
PF = MD = a - 4/5 a = 1/5 a

Resuelto por J.Carrión
Analíticamente
Consideramos un eje de referencia con origen en D(0, 0) y ejes DC (eje OX) y DA (eje OY).
Como antes, conocemos
Ecuación de la recta que pasa por AP
Pendiente: tag (90 + t) = - 2.
Como pasa por (0, a) su ecuación es:
y = - 2x + a
Ecuación de la recta que pasa por BP
Pendiente: tag (2t) = 4/3
Como pasa por (a, a) su ecuación es:
y - a = 4/3 (x - a)
Hallando la interseccisn de ambas rectas obtenemos que las coordenadas del punto P son P(2/5 a, 1/5 a)

Resuelto por J.Carrión
Otra forma de resolverlo analíticamente
Como BA = BP y AQ = QP, el punto pedido es la intersección de las circunferencias de centro Q(0, a/2) y de radio a/2, cuya ecuación es:
x 2 + (y - a/2) 2 = (a/2) 2
y la circunferencia de centro B(a, a) cuyo radio es a, de ecuación:
(x - a) 2 + (y - a) 2 = a 2
(Y no utilizamos para nada ángulos).

Resuelto por la Gacetilla Matemática.

 
  (#49) El pico del pañuelo