(#054) ... Y NÚMEROS
¿Cuál es el menor número que al dividirlo por 4, 7 y 11 da de resto 3 y al dividirlo por 13 el resto es 1?.

Solución
Como las dos soluciones recibidas son esencialmente iguales transcribimos una de ellas.

Sea x el número en cuestión.
Como
      x = 4q 1 + 3
      x = 7q 2 + 3
      x = 11q 3 + 3
para ciertos q 1, q 2, q 3 entonces podemos decir que x - 3 será un múltiplo del mínimo común múltiplo de 4, 7 y 11. Es decir

x - 3 = 308 c 1
Por otra parte la otra condición del problema impone que
x - 1 = 13 c 2
luego, todo se reduce a resolver la ecuación diofántica lineal
13 c 2 - 308 c 1 = 2
Llamando c 2 = u y - c 1 = v, la ecuación queda:
13 u + 308 v = 2

Primero Resolución de 13 u + 308 v = 0

Obtenemos: u = 308 t, v = - 13 t, t entero.

Segundo Resolución de 13 u + 308 v = 2 (Solución particular)

Como
      308 = 13 * 23 + 9
       13 = 9 * 1 + 4
       9 = 4 * 2 + 1
podemos escribir:

1 = 9 - 4 * 2 = 9 - (13 - 9 * 1) * 2 = 3 * 9 - 13 * 2 =
= 3 * (308 - 13 * 23) - 13 * 2 = 13 * (-71) + 308 * 3
En consecuencia:
u = - 71 * 2 = - 142
v = 3 * 2 = 6

Tercero Solución general de la ecuación

      u = c 2 = - 142 + 308 t
      v = - c 1 = 6 - 13 t
Por lo tanto x = 13 * c 2 + 1 = 4004 t - 1845
y claramente, el valor pisitivo para x más pequeño se obtiene cuando t = 1
La solución es x = 4004 - 1845 = 2159


 
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