(#057) EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Demostrar que el área de un triángulo puede expresarse:
A = p 2 tag(A/2) tag(B/2) tag(C/2)
donde p es el semiperímetro y A, B y C los ángulos del triángulo.

  Solución
S = 1/2 bc sen (A) = bc sen (A/2) cos (A/2) =
Por simetría:
S = ac tag(B/2)cos 2 (B/2)
S = ab tag(C/2)cos 2 (C/2)

Multiplicando estas tres expresiones:
S 3 = (abc) 2tag(A/2)tag(B/2)tag(C/2) cos 2(A/2)cos 2(B/2)cos 2(C/2)    (1)

Por otro lado (teorema del coseno): a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cos(A)
Despejando tendremos: y operando:

Por tanto de donde
Por simetría:

Multiplicando estas tres últimas expresiones:

(teniendo en cuenta la fórmula de Herón)
Sustituyendo en la expresión (1) resulta:
Y simplificando
S = p 2 tag(A/2) tag(B/2) tag(C/2)

Comentario de la G.M.
Pues ahí queda "eso".
Algunos consejos para seguir la demostración:
Visita nuestra página dedicada al área de un triángulo
Igualmente te puede interesar la dedicada a Herón de Alejandría
Hay que tener en cuenta que si p es el semiperímetro de un triángulo entonces a + b + c = 2p siendo a, b y c los lados. Teniendo esto en cuenta resulta:
b + c - a = 2p - 2a = 2(p - a)
Por último debes tener en cuenta las expresiones trigonométricas del ángulo mitad:
Una nueva visión del problema propuesta por el Dr. Gualda

Se basa en la formula de Herón. En la demostración clásica de la fórmula de Herón aparecen los lados del triángulo divididos cada uno en dos segmentos por la proyección del incentro en cada uno de ellos. Por ejemplo el lado c queda dividido en p - a y p - b:

p - a + p - b = 2p - a - b = c

Según la figura:

tg (A/2) = r/(p-a); tg (B/2) = r/(p-b); tg(C/2) = r/(p-c)
y teniendo en cuenta que:
r = S / p = [(p-a)(p-b)(p-c) / p] 1/2

se obtiene, sustituyendo:
tg(A/2) tg(B/2) tg(C/2) = S / p 2

c.q.d.

 
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