(#67) SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Hallar un número de tres cifras, sabiendo que en los sistemas de base 7 y 9 se escribe con las mismas cifras pero dispuestas en orden inverso.

Solución
El numero estará comprendido entre 100 y 999, pero debido a la inclusiónn de las numeraciones de base 7 y 9 debemos dividirlo en tres intervalos:

PRIMER INTERVALO [100,342]: En este intervalo tanto los números de base 7 como los de base 9 tienen tres cifras.
SEGUNDO INTERVALO [343, 728]: Aquí los números en base 9 tienen tres cifras, pero los de base 7 ya tienen cuatro. Nuestro número no puede estar en este intervalo.
TERCER INTERVALO [729,999]: Los números de ambas bases tienen cuatro cifras. Es también un intervalo válido.

PRIMER INTERVALO:
El intervalo en base 7 es [202,606]
El intervalo en base 9 es [121,420]
La siguiente ecuacisn (diofántica) expresa la condición del problema:

abc(base7) = cba(base9)
49a + 7b + c = 81c + 9b + a
Simplificando:
48a - 2b - 80c = 0

Unos cuantos apuntes, algunos más útiles que otros:

  • Ninguna cifra puede ser mayor que 6 (la mas alta del sistema de numeracisn en base 7).
  • La cifra "c" no puede ser mayor que 4 (el límite superior en base 9 era 420).
  • La cifra "a" no puede ser menor que 2 (el límite inferior en base 7 era 420).
  • La cifra "c" ha de ser menor que "a" (de lo contrario la ecuación jamás daría 0).
  • 48 y 80, coeficientes de "a" y "c", con 16 como máximo común divisor, tienen una relación 3/5, lo cual significa que si damos a "b" el valor 0 ya tenemos una solución: a = 5, b = 0, c = 3
    503(base7) = 305(base9) = 248
Cualquier otra diferencia entre 80c y 48a va a ser múltiplo de 16, y como esa diferencia no podrá ser atenuada por el término 2b (que puede ser 12 como máximo), la solución dada es única en este intervalo.

TERCER INTERVALO:
El intervalo en base 7 es [2061,2625]
El intervalo en base 9 es [1000,1330]
La siguiente ecuacisn (diofántica) expresa otra vez la condición del problema:

abcd(base7) = dcba(base9)
343a + 49b + 7c + d = 729d + 81c + 9b + a
Simplificando:
342a + 40b - 74c - 728d = 0

Igual que en el intervalo anterior, razonemos un poco:

  • Ninguna cifra puede ser mayor que 6 (la mas alta del sistema de numeracisn en base 7).
  • La cifra "d" sólo puede ser 1 (el límite superior en base 9 es 1330).
  • La cifra "c" no puede ser mayor que 3 (el límite superior en base 9 es 1330).
  • La cifra "a" sólo puede ser 2 (el intervalo en base 7 es [2061,2625]).
  • Con lo anterior la ecuacisn queda así:
    684 + 40b - 74c - 728 = 0
    40b - 74c = 44
    b = (74c+44)/40
    Y lamentablemente, no hay soluciones aplicando las restricciones mencionadas anteriormente, por lo cual concluimos que la solución dada unos kilómetros más arriba (248) era única.
    Un saludo

    Comentario de la G.M.
    Pues ahí queda "eso". ¡Chapeu!


 
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