(#68) SUCESIONES
Hallar el menor término común a las tres progresiones:
2, 11, 20, 29, ...
7, 15, 23, 31, ...
8, 19, 30, 41, ...

Solución
De las sucesiones:
 
              n =      0     1     2 ....
         
              x =      2    11    29 ....
              y =      7    15    23 ....
              z =      8    19    30 ....
 
que nunca tienen un término en común para un mismo iterato, que 767 es el mínimo natural donde coinciden para iteratos no necesariamente iguales.
Podemos escribir de forma equivalente,
 
          x(0) = 2,   x(n1) = x(n1 - 1) + 9   ->   x(n1) =2 + n179
          y(0) = 7,   y(n2) = x(n2 - 1) + 8   ->   y(n2)= 7 + n278 
          z(0) = 8,   z(n3) = z(n3 - 1) + 11  ->   z(n3) =8 + n3711
y queremos que para una misma n = n1 = n2 = n3 tener que x(n) = y(n) = z(n) = m donde m sería el mínimo natural donde se hayan las tres sucesiones. Tenemos pues el siguiente sistema de ecuaciones:
 
          97n - m = - 2
          87n - m = - 7
         117n - m = - 8
que fácilmente se puede ver que es un sistema no compatible, por lo cual las tres sucesiones nunca coinciden en un mismo iterato n.
Otro problema tenemos si se admiten como soluciones la coincidencia de los términos de las sucesiones en iteratos diferentes. Supongamos que tenemos a,b y c naturales tales que
               2 + a79 = 7 + b78 = 8 + c711  
si ahora ponemos b y c en función de a llegamos a:
 
               b = (-5 + a79)/8
               c = (-6 + a79)/11  
y vamos substituyendo a por naturales(1,2,3,...) hasta dar con b y c naturales y nos quedará que el mínimo "m" donde las sucesiones coinciden es 767 con a = 85, b = 95, c = 69.

Q.E.D
Edu.


 
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