(#69) HEXÁGONO
En el triángulo ACB se construyen, sobre sus lados, los cuadrados indicados en la figura. De esta forma se determina un hexágono MFEKDP. Determinar el área de dicho hexágono.

Solución

  • La solución enviada por Francisco

  • Del triángulo ABC y mediante el teorema del coseno obtenemos:
    15 2 = 13 2 + 14 2 - 2*13*14*cos(A);    de donde cos(A) = 5/13
    13 2 = 14 2 + 15 2 - 2*14*15*cos(B);    de donde cos(B)= 3/5
    14 2 = 13 2 + 15 2 - 2*13*15*cos(C);    de donde cos(C) = 33/65

    A partir de la ecuación fundamental de la trigonometría sen2(x) + cos2(x) = 1 obtenemos los respectivos valores de los senos, es decir:

    sen(A) = 12/13; sen(B) = 4/5; sen(C) = 56/65

    Mediante la fórmula de Herón obtenemos el área del triángulo ABC:

    Área ABC = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt(21*6*8*7*) = 84

    y basándonos en que el área de un triángulo ABC de lados a, b y c es S = (a * b * sen(C))/2 obtenemos:

    Área triángulo DAP = 13 * 14 * 12/26 = 84
    Área triángulo MBF = 14 * 15 * 4/10 = 84
    Área triángulo KCE = 13 * 15 * 56/130 = 84

    Así pués el area total es

    13 2 + 14 2 + 15 2 + 4*84 = 926 unidades 2

    Nota. Se podrían haber ahorrado algunos cálculos observando que el área de los triángulos exteriores es igual al de triángulo interior ya que poseen dos lados iguales y los ángulos comunes a esos dos lados son suplementarios el uno del otro por lo que sus senos son iguales y por tanto de S = (a * b * sen(C))/2 tendríamos áreas iguales y el área total sería la suma de las tres áreas de los cuadrados mas cuatro veces el valor del área del triángulo ABC que nos da la fórmula de Herón evitándonos el cálculo de los senos y cosenos de los ángulos A, B y C.

  • La solución enviada por Concha

  • El área del hexágono es la suma del área del triángulo original (T), de los tres cuadrados (13 2 + 14 2 + 15 2) y de los tres triangulos que acaban de cerrar la figura.
    Pero el área de cada uno de esos tres triángulos KCE, DAP y MBF es igual al área del triángulo original ya que, como se ve en la figura, tienen dos lados iguales y los ángulos comprendidos suplementarios.

    Área = a * b *sen(C) = a * b * sen(180º - C)

    Como el área del triángulo original T es, por la fórmula de Herón:

    siendo p el semiperímetro
    El área total del hexágono es

    4T + 13 2 + 14 2 + 15 2 =
    = 4 * 84 +13 2 + 14 2 + 15 2 = 926 unidades cuadradas.

    Un saludo. Concha

     
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