(#70) ¡UN RELOJ CON TRES MANECILLAS!
Un reloj tiene tres manecillas, horario, minutero y segundero. Si coinciden a las 12 ¿cuándo inmediatamente después el segundero será bisectriz del ángulo de las otras dos?

Solución
  • Enviada por María José
  • Como las velocidades angulares de las agujas segundera, minutera y horaria son proporcionales a 720 : 12 : 1 los ángulos recorridos por cada una de ellas en un cierto intervalo de tiempo serán 720 a, 12 a y a.

    Sea 12 a - a = ángulo entre la minutera y horaria. Por tanto el ángulo de la bisectriz entre ellas es 11a/2 y el ángulo que formara la aguja del segundero con la vertical (a partir de las doce en punto) será a + 11a/2 = 13a/2 siendo el ángulo total recorrido por ella de 720 a, después de dar una vuelta completa y situarse en la bisectriz de las otras dos que era de 13a/2 por lo que sólo tenemos que poner la ecuación:

    720a - 13a/2 = 360º (operarando en grados)

    De aquí: 720 * 2a - 13a = 720 y obtenemos para a el valor de 6 + 78/1427 grados sexagesimales que para trasladarlos a minutos del reloj sólo hay que dividirlos por 6 con lo que obtenemos 1 + 13/1427 minutos es decir el suceso que nos pide el problema ocurre a las 12 horas 1 minuto y 780/1427 segundos exactamente.

  • Enviada por Miguel Ángel

  • ¡Un reloj con tres manecillas! ¿Tan extraqo es que va entre exclamaciones :-)?

    Dado que no se especifica nada acerca de qué ángulo es el correcto, a las 12:00:00 el horario y el minutero forman un ángulo de 0º y otro de 360º. Por tanto, atendiendo al segundo ángulo, a eso de las 12:00:30 el segundero será la bisectriz solicitada. He escrito "a eso de" porque podemos estar ante dos tipos de relojes: - Los de las salas de espera, cuyas manecillas avanzan a saltos, emitiendo un desagradable sonido que pone aún más nerviosos a los ocupantes de la estancia. En estos relojes, el minutero, y eventualmente el horario, sólo se mueven cuando el segundero ha dado una vuelta completa. Por tanto en este caso se produce exactamente a las 12:00:30.

    - Los demás, que en mayor o menor medida tienen un movimiento constante. Aquí es algo más complicado. Las velocidades de giro relativas del horario, minutero y segundero respectivamente, son 1/120, 1/10 y 6. Llamando H, M y S a los ángulos definidos por la línea correspondiente a las 12:00:00, y el horario el minutero y el segundero respectivamente, el segundero forma la bisectriz cuando

    S - M = (360 - M + H)/2

    Por tanto podemos definir la ecuacisn temporal:

    6t - t/10 = (360 - t/10 + t/120)/2

    de donde t = 30,273... Lo cual nos permite establecer el momento aproximadamente a las 12:00:30.273...

    Por cierto, una ecuación parecida podría utilizarse para calcular la siguiente bisectriz, después de las 12:01:00, que podría tomarse como la primera, caso de no valer aquello de los dos ángulos simultáneos... En el segundo término hay que incluir los 360º del primer giro ya concluido:

    S - H = 360 + (M - H)/2

    En ese caso:

    6t - t/120 = 360 + (t/10 - t/120)/2

    de donde t = 60,546... De esta forma la hora "exacta" sería las 12:01:00.546... , como era de esperar.

    En un reloj "de sala de espera", se produciría durante el salto entre el segundo 0 y el segundo 1 después de las 12:01. Era de esperar porque durante doce horas, se producirán (2 * 60 * 12 - 12 -1) bisectrices, o sea, dos por minuto a lo que se resta 12 giros completos del minutero y uno del horario. Esto nos da una frecuencia de 43200/1427 = 30.2733 segundos, lo cual hubiera sido una manera más corta de solucionar el problema, pero como siempre, me he ido por los cerros de Úbeda.
    Un saludo a tod@s.
    Miguel A. Sierra

    Nota de la G.M.. Nunca se me hubiera ocurrido el caso del reloj de "sala de espera". Está claro que sobre relojes Miguel A. sabe más que nadie :-)


    Solución proporcionada por José Carrión
    Srán las 12 h 1 m 780/1427 s
    A las 12 h + 1 m el segundero está en las 12 (en ese minuto ha recorrido 60 divisiones). El minutero ha recorrido una división y el horario habrá recorrido 5/60 (= 1/12) divisiones. a partir de ese momento el número de divisiones (x) que recorra el segundero hasta llegar a ser bisectriz tiene que ser el punto medio, es decir la media de los caminos recorridos por horario y minutero. Por tanto


     
      (#70) Un reloj con tres manecillas