(#73)VA DE GEOMETRÍA
1) Determinar el área del trapecio ABCD según los datos indicados en la figura adjunta.
2) En el triángulo isósceles ABC el ángulo C vale 100º. Se trazan dos rectas una que comienza en A con un ángulo de 30º sobre AB y otra en B con un ángulo de 20º sobre BA. Dichas rectas concurren en M. Hallar los ángulos ACM y BCM.

Solución número 1
Trazo las cuerdas AE y EB y los triangulos ADE y BCE resultan ser semejantes por lo que DE/DA = CB/CE de donde obtenemos que 28/30 = x/10 es decir CB = 28/3. El área del trapecio ABCD será pues
((30 + 28/3)/2) * 38 = 747 1/3 u2

Solución número 2
Tomando un sistema de ejes tal que el origen sea el punto A, el eje X la recta AB, y asignando a AC = CB una longitud unitaria por comodidad, y sin afectar para nada al resultado final, obtenemos las cordenadas de los puntos A, B, C.

A partir de A + B + C = 180 se obtiene 2A + 100 =180 y por tanto A = B = 40 grados y las cordenadas de A(0, 0), B(2 cos 40, 0), C(cos 40, sen 40).
Tendremos:

  • ecuación de la recta AM

  • y = (tang 30) x

  • ecuación de la recta BM

  • y = (tang160).(x - 2 cos40).

    Determinamos el punto de intersección M entre ambas rectas

    (tang30)x = (- tang20)x + 2 (tang20)(cos40)

    de donde

    Una vez conocidas las cordenadas de C y de M podemos determinar el coeficiente angular (pendiente) de la recta MC restando las ordenadas y las abcisas de C y M, y haciendo el cociente de las diferencias así obtenidas.

    y de esta forma obtenemos

    Por lo tanto si m = Sqrt(3) entonces el ángulo ACM es de 20 grados y el BCM de 80 grados y sumando entre los dos obtenemos los 100 grados que nos daba inicialmente el problema.
    Saludos

    Solución facilitado por José Carrión

    Sea x el ángulo ACM y tracemos las perpendiculares a los lados MA', MB' y MC'. Sea a = MC y calculemos MC'.

  • En el triángulo CMB' resulta: MB' = a sen(x)
  • Como ABC es isósceles el ángulo CAM = 10º y los ángulos CAB y ABC son iguales.
  • En el triángulo AMB' tendremos

    de donde
    AM sen (10) = a sen(x)
  • En el triángulo AMC' tendremos

    de donde
    a sen (x) = 2 sen(10) MC'
  • En CMA' el ángulo MCA' = 100 - x luego

    y como el ángulo MBC = 20º los triángulos BMC' y BMA' son iguales de donde
    MA' = MC' = a sen (100 - x)

  • Igualando los MC' obtenidos anteriormente resulta

    Simplificando y resolviendo dicha ecuación obtenemos x = 20º


  • Solución facilitada por Julio Ángel Miranda
    La figura mostrada es parte de la solución dada más abajo con sumo detalle

    1. ángulo(BAM) = 10º y ángulo(BCM) = 20º
    Recuerde que ángulo(A) = ángulo(C) = 400 (el ángulo(ABC) es isósceles)
    2. Por el vértice B se traza una perpendicular a AC; ésta corta a MC en D y a AC en N. (Nótese que N es punto medio de AC debido a que la altura del ángulo(ABC) actúa como una mediana.
    3. Prolongamos AM; Dicha prolongación corta a BN en P y a BC en Q.
    4. Unimos los puntos P y C y Q y D.
    5. Nótese además que el ángulo(APC) también es isósceles, puesto que su altura PN es mediana.
    Por lo tanto:

    ángulo(PAC) = ángulo(PCA) = 30º
    ángulo(PCD) = ángulo(QCP) = 10º

    6. De otro lado ángulo(QMC) = 50º (propiedad del ángulo exterior para el ángulo(AMC))
    7. Se deduce también que ángulo(QPC) = ángulo(DPC) = 60º
    8. El triángulo(PQC) es congruente cone el triángulo(PDC) (criterio de congruencia ALA), luego PQ = PD y además ángulo(PQD) = 30º
    9. Ahora nótese que el cuadrilátero MBQD es inscriptible en una circunferencia puesto que : ángulo(DMQ) = ángulo(DBQ) = 50º por lo tanto: ángulo(MQD) = ángulo(MBD) = 30º.
    10. Finalmente (para no aburrirlos) las medidas de los ángulos pedidos son: ángulo(ABM) = 20º y ángulo(MBC) = 80º

    Observaciones: La solución escrita pueden obviarla, la figura lo dice todo, los trazos auxiliares estan hecho de color rojo, "una figura vale más que mil palabras".

    NOTA de la Gacetilla Matemática: ¡Ahí queda eso!
     
      (#73) Va de geometría