(#81) RELACIONES ENTRE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO

En el triángulo ABC, la mediana AM, la altura BH y la bisectriz CD se cortan en un mismo punto. Hallar la relación que existe entre los lados de dicho triángulo.

Solución
  • (1) De acuerdo a la figura BM = MC
  • (2) Aplicamos el teorema de Ceva al triángulo ABC y tenemos que:
    AD.BM.CH = DB.MC.HA

    Luego AD.CH = DB.HA (recuerda que BM = MC)
    Entonces:
       (1)

  • (3) De otro lado, considerando los triángulos rectángulos AHB y CHB respecto a la altura BH y aplicando el teorema de Pitágoras
    (AB)2 - (HA)2 = (BC)2 - (CH)2
    (AB)2 - (BC)2 = (HA)2 - (CH)2
    (AB)2 - (BC)2 = (HA + CH)(HA - CH) (*)
    (AB)2 - (BC)2 = CA(HA - CH)    (2)

    (*) pues HA + CH = CA
  • (4) Además aplicando el teorema de la bisectriz interior al triángulo ABC tendremos:
    luego     (3)

  • (5) Igualando (1) y (3) obtenemos
    (4)

  • (6) La proporción (4) es una proporción geométrica por lo que

    pero como HA + CH = CA despejando HA - CH en la empresión anterior
          (5)

  • (7) Reemplazando (5) en (2)

  • (8) Finalmente reordenando

    Nota            
    En (4) se usa la propiedad de las proporciones geométricas


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