(#82) COPO DE NIEVE
Esto es un fractal y se le conoce como "copo de nieve" generarlo es fácil (lo difícil es dibujarlo).
  1  Se inicia con un triángulo equilátero original de lado L
  2  Cada lado se segmenta en tres partes iguales.
  3  Tomando como base el segmento medio de cada lado; se traza sobre el triángulo equilátero. En este caso, la nueva longitud de lado será 1/3 del lado original. Esta operación se repite para los otros dos lados del triángulo original.
  4  Se borran los segmentos de enmedio y se tiene una nueva figura con puntas triangulares. (6 puntas)
  5  A cada una de la puntas triángulares generadas se les aplican los pasos 2, 3 y 4. El fractal se genera repitiendo estos pasos sucesiva e indefinidamente a las puntas generadas.
Se pide determinar el área de dicho fractal.

Copos Copo1
Copo2 Copo3
Solución
Si partimos de un triángulo equilátero de área A, en la primera iteración obtenemos 3 triangulos de area A/9 cada uno; en la segunda iteración obtenemos 12 triángulos de área A/92 cada uno; en la tercera iteración obtenemos 48 triángulos de área A/93; en la cuarta iteración obtenemos 192 triángulos de área A/94, etc.

Asi pues si sumamos todas las áreas parciales (número de triángulos por área de cada uno), tendremos la siguiente progresión:

3.A/9, 3.4.A/92, 3.42.A/93,... 3.4(N-1).A/9N
cuyo primer termino es a1= 3A/9 y cuya razón es r = 4/9.
Si tenemos en cuenta la suma de los términos de una progresiónn geométrica ilimitada y decreciente es entonces dicha suma es (3A/9) : (5/9) = 3A/5.

Si a esto le añadimos el área del tiángulo inicial obtenemos
    3A/5 + A = 8A/5    
que es el área del "copo de nieve" que perseguíamos, en función del área del triángulo de partida A.
Dado que el área de un triángulo equilátero en función del lado es entonces el área del "copo de nieve" en función del lado es

 
  (#82) Copo de Nieve