(#84) GEOMETRÍA 2

Solución

En la siguiente figura, calcular MN si a 2 + b 2 = 36 siendo M y N los puntos medios de DE y AC

1) De José Carrión
Traslademos AD según el vector DM a la posición MA' y también el CE según EM a la posición MC'. El triángulo MA'C' es rectángulo (la traslación conserva los ángulos) y N es el punto medio de A'C'.
Es manifiesta la igualdad de los triángulos AA'N y CC'N:
AA' = CC' por ser iguales y paralelas a DM (=ME)
< A'AN = < C'CN por alternos internos,
a 2 + b 2 implica que A'C' = 6 lo que implica que MN = 3

2) De Cesáreo Muñoz
Si colocamos el triángulos en el plano cartesiano de tal forma que los catetos estén sobre los ejes, cada punto del triángulo quedaría como muestra la figura.

Por tanto la longitud MN está dada por la distancia entre los puntos M y N

Nota Por ma(ABC) designamos la medida del ángulo ABC;
vértice en B.

3) Solución remitida por el ponente Julio A. Miranda
  • ma(BAE) + ma(BEA) = 90º (El triángulo ABE es rectángulo)
  • Unimos A con E y por M trazamos la paralela a DA que corta a AE en Q. Por lo tanto Q es el punto medio de AE.
  • En el triángulo ADE MQ = a/2
  • Unimos Q con N en el triángulo AEC y tenemos QN = b/2
  • Por paralelismo tenemos que: ma(BAE) = ma(MQE) y que ma(BEA) = ma(EQN), por tanto ma(MQN) = 90º
  • Luego el triángulo MQN es rectángulo y por el teorema de Pitágoras
  • (a/2) 2 + (b/2) 2 = x 2
  • Y usando la condición dada resulta x = MN = 3

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