(#87) CONVERSACIÓN ENTRE MATEMÁTICOS
En un concurso matemático se eligen dos números naturales distintos de 1 cuya suma se le entrega al matemático S, y su producto al matemático P. Ganará la prueba el matemático que consiga adivinar el número que se le ha entregado al otro. Durante el concurso se produce esta conversación:
  • Primero S le dice a P: "No veo cómo vas a poder averiguar mi suma".
  • Al cabo de un rato P le responde: "Ya sé el valor de tu suma".
  • Más tarde S contesta: "Ahora ya sé el valor de tu producto"
  • Nuestra tarea es encontrar los números iniciales. Para ello disponemos de una pista: el número entregado a S es menor que 40, (pero S no lo sabe). Nuestra tarea es encontrar los números iniciales (Por supuesto ni S ni P han mentido en la conversación ni se han equivocado en sus averiguaciones ).

    Solución
    Los números son el 4 y el 13. ¿Por qué? Lo contaré brevemente, porque lo hice un poco a la fuerza bruta, pero si queréis os mando todo el proceso. Lo que hice fue analizar las tres frases de la conversacisn entre S y P:

    PRIMERA FRASE
    Empezé cogiendo todos los casos de suma posible que pueden darse, es decir, desde 4 (que sería la suma mínima: 2 + 2) hasta 40 (que es la máxima según el enunciado). Para cada una de ellas, puse todas las posibilidades.
    Por ejemplo, si la suma es 10, las posibilidades para los números son:

    2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 5

    Como una de las sumas 3 + 7 son dos números primos, significa que habría una posibilidad que, recibiendo S el valor de 10, P tuviera un 21, con lo cual P sabría cuánto vale exactamente la suma, y ello contradeciría el hecho de la primera frase de la conversación, donde S dice que no sabe cómo P puede averiguar la suma.
    De todas las posibles sumas, donde en ningún caso se logran a partir de dos primos, obtenemos los números 11, 17, 23, 27, 29, 35 y 37. Eso significa que uno de estos números es la suma que obtiene S, porque sólo para esos valores de suma es cuando P no puede deducir cuál es la solución

    SEGUNDA FRASE
    Si vemos las posibilidades para todos ellos, y tachamos aquellos casos donde el producto aparezca más de una vez (por ejemplo, la suma puede ser 11 porque los números eran 5 y 6, cuyo producto es 30. Pero también puede haber sido 17, con los números 2 + 15, cuyo producto también es 30). Luego 30 no puede ser el producto, porque entonces P no podría discernir en qué caso está.
    Después de tachar todos esos casos repetidos, los casos que queden libres son los que puede tener P.

    TERCERA FRASE
    De todos esos casos, observamos que de todas las 7 posibles sumas anteriores, sólo una de ellas (la 17) se ha quedado con una única opción sin tachar. Todas las demás, después de haber tachado las repetidas, siguen teniendo más de una posibilidad. Eso significa que, para que S diga que al P conocer la suma, él ya conoce el producto, sólo puede haber sido 17 la suma, y la única línea libre que quedaba era 4 + 13.

    Saludos
    Agustín Trujillo

    Francisco Molina nos ofrece todo el razonamiento. Puedes bajártelo desde aquí
    Es el fichero entrematematicos.zip (19 Kb = 18589 bytes)

     
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