(#88) CUADRADO, CIRCUNFENRECIA y TANGENTE
Una circunferencia de radio R pasa por dos vértices contiguos de una cuadrado. La tangente a la circunferencia, trazada desde el tercer vértice del cuadrado, es dos veces el lado del cuadrado. Hallar dicho lado.


mano_dSolución de Antonio Anguiano
Considero el centro de la circunferencia como origen de unos ejes de coordenadas paralelos a los lados del cuadrado, con lo cual las coordenadas de los puntos A y B son A(-L/2, y) y B(-L/2, y + L)
La ecuacisn de la circunferencia es: x 2 + y 2 - R 2 = 0
Las potencias de los puntos A y B con respecto a la circunferencia son 0 y 4L2, respectivamente, por tanto se puede escribir:

Restando a la segunda igualdad la primera queda
(y + L)2 - y2 = 4 L2

y operando obtenemos y = 3L/2; sustituyendo en (1) el valor obtenido para y resulta

y despejando obtenemos


mano_dSolución de Julio Ángel Miranda
  • (1) Hagamos BA = L; entonces BM = 2L, donde L es la longitud del cuadrado ABCD.

  • (2) Por el punto O, centro de la circunferencia trazamos una perpendicular al lado AD en N. Entonces AN = ND = L/2

  • (3) Prolongamos OA que corta a la circunferencia en P

  • (4) Por O trazamos una perpendicular a AP en Q; entonces AQ = QP

  • (5) Unamos O con A con lo que OA = R

  • (6) En el triángulo rectángulo ANO, usando el teorema de Pitágoras

  • (7) De la figura se puede observar que

    luego

  • (8) Por la propiedad de las relaciones métricas de la circunferencia resulta (BM) 2 = (BP) (BA) y reeemplazando la expresión de BP obtenida en (7) en ella y teniendo en cuenta (1)

    y despejando L obtendremos


  • mano_dSolución de Antonio Quintana Déniz
    Antes que nada prolonguemos el lado BA desde el extremo A hasta que corte a la circunferencia de nuevo en el punto X. El ángulo BAD mide un 90º por ser ABCD un cuadrado; por otra parte el ángulo DAX mide también 90º. Como DAX mide 90º se debe cumplir que la prolongación del segmento OD desde el punto O hasta el otro extremo de la circunferencia corta a esta también en el punto X (Elementos III.31). Por lo tanto el triángulo ADX es rectángulo; cumpliéndose que

    Por otra parte teniendo en cuenta, la definición de Potencia de un punto con respecto a una circunferencia, (Elementos III.36), se debe cumplir la siguiente igualdad

    Pero BM es el doble de AD, y AB es igual a AD, con lo cual sustituyendo en la ecuación anterior podremos hallar la expresión de AX en funcisn de AD

    Ahora sólo nos queda sustituir el valor de AX en la primera ecuación de esta solución, y despejar el valor de AD

    El lado AD es evidentemente el valor que el problema nos pide que calculemos.



    La solución de José Carrión
    BA.BA' = BM2 => BA'.x = 4x2 => BA' = 4x => AA' = 3x

    A'D es el diámetro de la circunferencia; aplicando el teorema de Pitágoras:

    AD2 + A'A2 = A'D2 => x2 + 9x2 = 4R2 => x = 2R / sq(10)


     
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