(#90) CIRCUNFERENCIAS TANGENTES
Si dos circunferencias son tangentes exteriores en A y los puntos de contacto de una tangente exterior son B y C demostrar que el triángulo ABC es rectángulo en A y calcular la altura sobre la hipotenusa de dicho triángulo en función de los radios de las circunferencias.

mano_dSolución de Francisco Molina
La recta tangente que pasa por A y la que pasa por B y C se cortan en un punto que llamaremos O. Entonces, la distancia de O a los puntos de tangencia C y A son iguales, es decir OC = OA. Análogamente OB = OA, con lo que tenemos que los tres puntos pertenecen a una circunferencia de centro O y radio OA. Como además C, O y B están alineados tenemos que CB es un diámetro de dicha circunferencia. E inmediatamente tenemos que el ángulo en A del triángulo ABC es recto.

Calculemos ahora la altura sobre la hipotenusa del triángulo ABC (d): Para ello llamaremos r y R a los radios de las dos circunferencias iniciales. Los centros de estas circunferencias (T y Q) y A están alineados, y la recta que los contiene se corta con la tangente exterior en el punto P. Como CT y BQ son radios, serán perpendiculares a la recta tangente. Y ahora el triángulos BPQ contendrá otros dos triángulos semejantes a el mismo dada la coincidencia de los ángulos.

Luego llamando x a la longitud del segmento PT, tenemos que se verifica de donde obtenemos las igualdades

que simplificando nos llevan a
e igualando y despejando tenemos que .
Como podemos apreciar tanto en los cálculos como en el dibujo, este razonamiento no es válido cuando r = R. En este caso P no existe porque la recta tangente y la que une los centros son paralelas. Pero este caso es más sencillo ya que, al ser paralelas dichas rectas, será d = r = R.

Nota de la G.M. ,-) pues ahí queda ese razonamiento. Chapeau


mano_dSolución de Martin López

1º El cuadrilátero BOO'C tiene ángulos rectos en los vértices B y C, luego la suma de los ángulos BOA + A'C = 180º. Pero BAE = 1/2 BOA porque abarcan el mismo arco AB. Por análoga razón EAC = 1/2 AO'C de donde
BAC = BAE + EAC = 1/2(BOA + AO'C) = 1/2 180º = 90º

2º Llamemos EC = x BE = y, OB = R y O'C = r, entonces, por Thales
Por el teorema de la altura h 2 = x.y (**) y, además, de la figura (x + y) 2 = (R + r) 2 - (R - r) 2 por lo que (x + y) 2 = 4Rr (***)
Se trata de eliminar x e y de (*), (**) y (***)


mano_dSolución remitida por Antonio Menguiano
La primera parte es análoga a las ya presentadas. Veamos la segunda

Los triángulos Q1QQ2 y APO2 son semejantes por lados paralelos pudiendo establecerse las siguientes relaciones.



 
  (#90) circunferencias y Tangentes