(#93) TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Sea un triángulo CBA rectángulo en A. Sea K la proyección ortogonal sobre BC del punto medio I del lado AC. Demostrar que
KB 2 - KC 2 = AB 2

mano_dSolución de Francisco Molina
Según el dibujo tenemos que KB = CB - KC y sustituyendo en la expresión que queremos demostrar y obtenemos:
KB 2 - KC 2 = AB 2
(CB - KC) 2 - KC 2 = AB 2
CB 2 + KC 2 - 2 CB KC - KC 2 = AB 2
CB 2 - 2 CB KC = AB 2

Además, como el triángulo ABC es rectángulo, se verifica que CB 2 - CA 2 = AB 2
De manera que la expresión que queremos demostrar es equivalente a demostrar que
CA 2 = 2 CB KC
Pero esto es sencillo porque los triangulos ABC y ACJ de la figura anterior son semejantes y además JC = JK + KC = 2 KC, luego tenemos:

De donde llegamos a que CA 2 = 2 CB KC, que era equivalente a demostrar que KB 2 - KC 2 = AB 2

La solución anterior es más didáctica, porque enseña el camino recorrido para encontrar la solución. Veamos otra
Tenemos la siguiente situación donde vemos que los triángulos ABC y ACJ son semejantes y además

JC = JK + KC = 2 KC

luego tenemos:

de donde CA 2 = 2 CB KC
Como como el triangulo ABC es rectángulo, por el teorema de Pitágoras tenemos que
CA 2 = CB 2 - AB 2

y usando esas dos ecuaciones llegamos a la expresión que queríamos demostrar:
CB 2 - AB 2 = 2 CB KC
CB 2 - 2 CB KC = AB 2
CB 2 - 2 CB KC + KC 2 - KC 2 = AB 2
(CB - KC) 2 - KC 2 = AB 2
KB 2 - KC 2 = AB 2


mano_dSolución de José Carrión
Como CI = IA resulta CK = KJ
Aplicando el teorema del cateto al triángulo CBA
c 2 = (2m + n) n

luego
KB 2 - KC 2 = (m + n) 2 - m 2 =
= 2mn + n 2 = (2m + n)n = c 2 = AB 2



mano_dSolución de Jordi García
Por un lado tenemos por Pitagoras que: KB 2 + KI 2 = BI 2 y que KC 2 + KI 2 = CI 2
Si restamos obtenemos que
KB 2 - KC 2 = BI 2 - CI 2

Pero
BI 2 - CI 2 = AB 2 porque CI = AI por ser I el punto medio de AC y AB 2 + AI 2 = BI 2 por lo que AB 2 = BI 2 - CI 2
Por lo tanto KB 2 - KC = AB 2

mano_dSolución de Freddy Bohorquez (Sobre el mismo triángulo anterior)
En el triángulo IKB:   IB 2 = IK 2 + KB 2
En el triángulo BAI:   IB 2 = IA 2 + AB 2
Igualando:
IK 2 + KB 2 = IA 2 + AB 2
IK 2 + KB 2 - IA 2 = AB 2     (*)

En DCKI:   CI 2 = KC 2 + IK 2
Pero CI = IA, de donde reemplazando en (*) obtenemos:
IK 2 + KB 2 - (KC 2 + IK 2) = AB 2
IK 2 + KB 2 - KC 2 - IK 2 = AB 2

De donde resulta:   KB 2 - KC 2 = AB 2

 
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