(#94) SUMANDO SENOS
Hallar el valor de
J = sen2 1º + sen2 2º +sen2 3º + .... + sen2 89º + sen2 90º

mano_dSolución de Antonio Quintana Déniz
Queremos sumar las siguiente sucesisn finita de senos
J = sen2 1º + sen2 2º +sen2 3º + .... + sen2 89º + sen2 90º   (I)

Apliquemos en primer luga la igualdad sen Aº = cos (90 - A)º
La serie la podemos escribir como
J = cos2 89º + cos2 88º + .... + cos2 1º + cos2 0º   (II)

Sumemos las expresiones (I) y (II) y ordenemos sus términos de manera conveniente
2 J = cos2 0º + (cos2 1º + sen2 1º) + (cos2 2º + sen2 2º) + .... + (cos2 89º + sen2 89º) + sen2 90º

Por lo que 2J = 91 de donde J = 91/2

mano_dSolución de Antonio Menguiano
La suma anterior se puede poner de la siguiente forma:

Teniendo en cuenta que el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, lo anterior se puede poner de la siguiente forma:

Por la fórmula fundamental de trigonometría, cada uno de los 44 paréntesis de la expresisn última valen la unidad, por tanto se puede poner como sigue:

Mi saludo cordial.

Nota de la G.M. Las soluciones Freddy Bohorquez y de Emilio Carrión son esencialmente iguales que la anterior

 
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