(#96) ÁREA DE UN CUADRILÁTERO
El área del cuadrilátero ABCD vale 2 cm 2. Se han prolongado sus lados en la mitad de la longitud a los puntos M, L, P y E según se ve en la figura adjunta. Hallar el área del nuevo cuadrilátero MLPE.
mano_dSolución de María Alejandra Álvarez
Primero divido el cuadrilátero de la siguiente forma:

Observemos que el área del triángulo ABD es 2 veces el área del triángulo ABM, ya que tienen la misma altura pero la base del primero es 2 veces la base del segundo.
Con el mismo argumento, el área de ABM es 2 veces el área de BLM. De igual forma: el área de BCD es 2 veces el área de CDP y el área de CDP es 2 veces el área de DEP.
Ahora dividimos de la siguiente forma:

Análogamente a lo anterior:
El área de ABC es 2 veces el área de BCL y el área de BCL es 2 veces el área de CLP.
El área de ACD es 2 veces el área de ADE y el área de ADE es 2 veces el área de AEM.

Nosotros necesitamos calcular la suma de las área. Denotamos ABC, el área del triángulo ABC.
Sabemos que ABC + ACD = 2 cm 2 y también ABD + BCD = 2 cm 2
Calculamos la suma de las área exteriores al cuadrilátero ABCD:

ABM + BLM + BCL + CLP + CDP + DEP + ADE + AEM =
= (1/2) ABD + (1/2)(1/2) ABD + (1/2) ABC + (1/2)(1/2) ABC +
+ (1/2) BCD + (1/2)(1/2) BCD + (1/2) ACD + (1/2)(1/2) ACD =
= (3/4) [ABD + ABC + BCD + ACD] =
= (3/4) [ 2 cm 2 + 2 cm 2 ] = (3/4) 4 cm 2 = 3 cm 2

Por lo tanto el área del cuadrilátero MLPE será: 2 cm 2 + 3 cm 2 = 5 cm 2


mano_dSolución de Martín López
Calculemos el área de los cuatro triángulos que rodean al cuadrilátero ABCD.
Para el rectángulo AML tenemos

Además el ángulo MAL = 180º - BAD, con lo que sen(MAL) = sen(BAD)
El área de AML es, entonces
De manera análoga se demuestra que:
  • El área de LBP es S 2 = 3/8 (AB.BC. sen(ABC))
  • El área de PCE es S 3 = 3/8 (BC.CD. sen(BCD))
  • El área de EDM es S 4 = 3/8 (CD.AD. sen(CDA))
La suma de las áreas de estos cuatro triángulos es, entonces:
S 1 + S 2 + S 3 + S 4 =
= 3/8 (AD.AB. sen(BAD) + AB.BC. sen(ABC) + BC.CD. sen(BCD) + CD.AD. sen(CDA))

Pero AD.AB. sen(BAD) es el doble del triángulo BAD y BC.CD. sen(BCD) es el doble del área del triángulo BCD.
Su suma es, entonces, el doble del cuadrilátero ABCD. Luego:
AD.AB. sen(BAD) + BC.CD. sen(BCD) = 4

Por razones análogas
AB.BC. sen(ABC) + CD.AD. sen(CDA) = 4

De donde
S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = 3/8 . 8 = 3
y el área del cuadrilátero EMLP será S(EMLP) = 3 + 2 = 5 unidades 2


 
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