(#100) Triángulos y circunferencias
El triángulo ABC tiene 18 cm de perímetro. Se ha trazado la paralela DE al lado AC la cual es tangente a la circunferencia inscrita al triángulo de centro O. Sabiendo que DE mide 2 cm, calcular la medida del lado AC.

mano_dSolución
El área del triángulo ABC es
También puede ponerse el área del triángulo anterior como suma del área del trapecio de vértices A, C, E, D y del triángulo DEB, es decir:
Igualando las expresiones (1) y (2) y despejando h queda
y sustituyendo en la expresión (1) el valor obtenido de h
Aplicando las fórmulas de Herón para el área de un triángulo y el radio de la circunferencia inscrita en función de los lados y del semiperímetro p a la fórmula obtenida en la expresión (3), queda finalmente
La medida del lado AC puede ser 3 cm ó 6 cm.

Soluciones facilitadas por José Carrión
Los triángulos ACB y DEB son semejantes y la razón de semejanza vale 2/b.
El Área de BDE es (BDE) = 1/2 * 2 * x = x cm 2
El área de ABC es (ACB) =
= semi-perímetro * radio inscrito = 9y
Como los triángulos ACB y DEB son semejantes la razón de sus áreas vale la razón de semejanza al cuadrado; y la razón de sus alturas vale la razón de semejanza. Luego Aunque este sistema tiene 3 incógnitas (es curioso) se elimina la y quedando una ecuación de segundo grado en b: b 2 - 9b + 18 = 0 cuyas soluciones son b = 6 y b = 3.

Otra solución
Sean M, P y N los puntos de tangencia. Hagamos x = AM = AN y = CN = CP y z = BP = BM
El perímetro del triángulo ACB será 2x + 2y + 2z = 18 de donde x + y + z = 9
Los triángulos ACB y DBE son semejantes por lo que la razón de sus lados es igual a la razón de sus perímetros; o sea:
Además
P DBE = BD + BE + DE =
= BD + BE + (DK + KE) = BD + BE + DM + EP
por lo que P DBE = BM + BP = 2x con lo que resulta
Ahora puede plantearse el sistema de ecuaciones
y haciendo x + y = b obtenemos
de donde b = 6 cm ó b = 3 cm
-jcb-

 
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