(#101) Los lados de un triángulo rectágulo
Se dan dos longitudes a y b (a > b). Demostrar que las longitudes
son los lados de un triángulo rectángulo.

mano_dSolución de Pablo Sussi
Si las tres longitudes dadas forman los lados de un triángulo rectángulo, entonces se verifica que la suma del cuadrado de 2 de ellas, es igual al cuadrado de la otra (hipotenusa). Tomamos las 3 longitudes y las elevamos al cuadrado
Tomamos el resultado obtenido en la segunda ecuación, y le restamos el primero, así obtendremos el tercero
por lo tanto queda demostrado que los catetos son (a-b)/2 y sqrt(ab)ab siendo la hipotenusa (a+b)/2
Saludos

mano_dSolución de María Alejandra Álvarez
Hola, esta es la solución que creo correcta para el problema 101:
Basta mostrar que cada longitud es menor que la suma de las otras dos y además que el cuadrado de uno de los valores es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.
Para la primera parte


Para la segunda parte
  • [(a + b)/2] 2 = [(a - b)/2] 2 + [(ab) 1/2] 2
  • (a 2 + b 2 + 2ab)/4 = (a 2 + b 2 - 2ab)/4 + ab = (a 2 + b 2 - 2ab + 4ab)/4 =
    = (a 2 + b 2 + 2ab)/4
Y esto es una identidad. Por lo tanto las longitudes son los lados de un triángulo rectángulo.
María Alejandra Álvarez

mano_dSolución de Martín López
Así pues cumplen el teorema de Pitágoras y, por tanto, son medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

mano_dSolución de Antonio Menguiano
Sea O el punto medio de la suma de los segmentos AB = a y BC = b, es decir
Por otra parte, el segmento
AE = BC = b, y el segmento EB = a - b y el punto O es el punto medio del segmento EB, con lo cual
El triángulo ACD es rectángulo por tener el ángulo en D inscrito y abarcar 180º. Aplicando el teorema de la altura, DB 2 = a . b demuestra que el triángulo de lados
es rectángulo, c. q. d.

 
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