(#102) Teorema de la mediana de Ptolomeo
En el triángulo ABC de lados conocidos (miden a, b y c) se divide el lado BC en cuatro partes iguales por los puntos D, E y F. Calcular AD, AE y AF.

mano_dSolución
En general, sea M un punto cualquiera del lado BC.
Apliquemos el teorema del coseno a los triángulos ABM y ACM:
c 2 = AM 2 + BM 2 - 2.AM.BM.cos(AMB)
b 2 = AM 2 + CM 2 - 2.AM.CM.cos(AMC)
Multipliquemos la primera ecuación por CM y la segunda por BM, y tengamos en cuenta que los ángulos AMB y AMC son suplementarios:
CM.c 2 = CM.AM 2 + CM.BM 2 - 2.CM.AM.BM.cos(ABM)
BM.b 2 = BM.AM 2 + BM.CM 2 + 2.BM.AM.CM.cos(ABM)
Sumando ambas igualdades y teniendo en cuenta que BM + CM = a
CM.c 2 + BM.b 2 = a.AM 2 + a.BM7CM   (Teorema de Stewart)
De donde
Entonces tenemos
  • M = E
    BM = CM = a/2 => (Teorema de la Mediana)
  • M = D
    BM = a/4, CM =3a/4 =>
  • M = F BF =3a/4, CF =a/4 =>

 
  (#102) Teorema de la mediana de Ptolomeo