(#103) Triángulos rectángulos semejantes
Demostrar que si dos triángulos rectángulos son semejantes, el producto de las hipotenusas es igual a la suma de los productos de los catetos homólogos.

mano_dSolución de Pablo Sussi
LLamemos a los lados de los triángulos a, b y c y a', b' y c' , donde a y a' son las hipotenusas y b y c los homólogos de b' y c'
Sabemos que por ser triangulos semejantes
a/a' = b/b' = c/c'    (1)
Además por el teorema de Pitágoras a' 2 = b' 2 + c' 2 Multiplicamos el primer término de esta ecuación por a/a' simplificando y reordenando
Reemplazando a/a' por sus equivalentes (expresión (1))
a.a' = b'.b + c'.c
con lo que queda demostrado la proposición.
Saludos

mano_dSolución de Martín López
Llamemos a, b y c a la hipotenusa y los catetos respectivamente del primer triágulo rectángulo y a', b' y c' a la hipotenusa y los catetos del triángulo semejante.
Se tiene entonces:

Tomemos la primera igualdad de la última expresión y multipliquemos los dos miembros por a 2 y tendremos
pero de que sustituyendo en (2) da
c.q.d.

mano_dSolución de Antonio Menguiano
  • Los triángulos ABC y ABP son semejantes por ser los dos rectángulos y tener el ángulo B en común.
  • Los triángulos ABC y APC son semejantes por ser los dos rectángulos y tener el ángulo C en común.
  • De la propiedad transitiva de la semejanza y teniendo en cuenta los dos puntos anteriores se deduce que los triángulos ABP y APC son semejantes.
Mediante la observación de la figura comprobamos que
b.c = y.h + x.h

 
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