(#107) Función definida recurrente
Sea f(1) = 1 y f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2 f(n). Calcular razonadamente f(2001)

mano_dSolución de Antonio Menguiano
De lo anterior se deduce que las sucesivas f(n) son:
1/1, 1/3, 1/6, 1/10, 1/15, ...
Para determinar el término general de la sucesión de los denominadores recurrimos a las progresiones geométricas superiores
Particularizando para n = 2001

mano_dSolución de María Alejandra Álvarez
f(1) = 1
f(1) + f(2) +...+ f(n) = n 2 f(n) es decir f(1) + f(2) +...+ f(n - 1) = n 2 f(n) - f(n) = (n 2 - 1) f(n)
Pero además: f(1) + f(2) +...+ f(n - 1) = (n - 1) 2f(n - 1), entonces tenemos:
(n 2 - 1) f(n) = (n - 1) 2 f(n - 1)
Así podemos escribir:
y así sucesivamente...
Es decir
Por lo tanto

mano_dSolución de Pedro Manuel Benítez Gamero
En 2 líneas:
f(1) + ... + f(n) = n 2 * f(n) => f(1) + ... + f(n-1) = (n-1) * f(n-1) => f(n) = n 2 * f(n) - (n-1) 2 * f(n-1) => (n-1) 2 * f(n-1) = (n 2 - 1) * f(n) => (n-1) * f(n-1) = (n + 1) * f(n) => f(n) = f(n-1) * (n-1)/(n+1) => f(n) = 2 * (n-1)¡ /(n+1)¡ => f(2000)= 2 * 1999¡/2001¡

mano_dSolución de José Carrión Beltrán
Generalizando pondremos
Admitamos y apliquemos el método de inducción

Para n = 2001 tendremos


 
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