(#111) RELACIÓN EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES
Sea el triángulo isósceles ACB (AB = AC) y K el pie de la altura trazada desde el punto B. Justificar la relación

a2 + b2 + c2 = 3BK2 + 2AK2 + CK2

mano_dSolución de Pablo Sussi
Como KB es la altura, implica que es perpendicular al lado b, por lo tanto quedan formados 2 triángulos rectángulos. En CKB, tenemos que lo que el lado a del triángulo isosceles original, es ahora la hipotenusa, por lo tanto
a 2 = KC 2 + KB 2
En el otro triángulo rectángulo AKB, tenemos que el lado AB, que es el c en el isosceles original, es otra hipotenusa, por ello
c 2 = KB 2 + AK 2
y como el triángulo ABC es isósceles, entonces b = c o sea
b 2 = KB 2 + AK 2
Sumamos las tres igualdades
a 2 + b 2 + c 2 = 3.KB 2 + 2.AK 2 + KC 2
queda demostrado
Saludos
mano_dSolución de Carlos Álvarez
Trivial a partir del teorema de Pitágoras y teniendo en cuenta que b = c
a 2 = CK 2 + BK 2
b 2 = c 2 = AK 2 + BK 2 ==> a 2 + b 2 + c 2 = CK 2 + 2.AK 2 + 3.BK 2

 
  (#111) Relación sobre un triángulo isósceles