(#112) RELACIONES EN UN CUADRADO
Sea un cuadrado ABCD de lado a y M un punto variable del segmento BC. La recta DM corta a la recta AB en N. La perpendicular en D a DM corta a la recta AB en P

  • Demostrar que DM = DP
  • Demostrar que

  • mano_dSolución de Martín López
    Los triángulos DAP y DCM son iguales ya que son rectángulos, tienen un cateto igual y los ángulos también ya que ang(ADP) = ang(MDC) pues ambos son 90º - ang(MDA)
    Luego: DM = DP
    Llamemos x = CM, y = MB
    DM 2 = a 2 + x 2
    x + y = a
    De la semejanza de los triángulos MDC y MNB (son semejantes porque ang(MDC) = ang(MNB) y son rectángulos) se deduce

    De donde

    mano_dSolución de Carlos E. Muñico
    1) Consideramos 5 triángulos rectángulos y semejantes DPN, DPA, MBN, DCM, DAN
    DPA es semejante a DPN por ser rectángulo y el ángulo en P, común.
    DPN es semejante a MBN y a DAN por rectángulos y el ángulo en N, común.
    MNB es semejante a DCM por rectángulos y el ángulo en M igual por opuestos por el vertice...
    Así pues por transitividad DPA es semejante a DCM como tienen un lado igual DA = DC = a, la razón de semejanza es 1 y por tanto son iguales => DM = DP
    2) Multiplicando ambos miembros por a 2, se tiene:
    como DM = DP se tendrá
    Considerando el triangulo rectangulo DAP:
    Considerando el triangulo rectangulo DAN:
    y como el ang(DPA) = ang(ADN), aplicando la identidad fundamental de la trigonometria se sigue que la relación dada es cierta.
    Un cordial saludo. Carlos E. Muñico

    mano_dSolución de Carlos Álvarez Alberca
    La perpendicular por M a AD concurre en ésta en el punto K. Por ser sus ángulos los formados por pares de rectas perpendiculares, los triángulos PAD y DKM son semejantes.
    Por semejanza de triángulos y como KM = AD = a:
    Para la segunda parte, por el teorema del cateto aplicado al triángulo NDP y teniendo en cuenta que DP = DM:
    DP 2 = AP7NP <==> DM 2 = AP7NP,     DN 2 = AN 7 NP
    Por el teorema de la altura:
    AP7AN = AD 2 = a 2
    Así pues:

    mano_dUn razonamiento de Pablo Sussi a la primera parte propuesta
    Tomamos los 2 triángulos rectángulos DPA y DCM , en ellos obviamente DA = DC, por ser ambos dos lados del cuadrado. Por lo tanto un cateto del triángulo son iguales. Ahora bien analicemos el ángulo CDM es tambien igual al ángulo PDA, ya que ambos son complementarios del ángulo ADM (o ADN). Por lo tanto si en 2 triángulos rectángulos, un cateto y el ángulo que forma ese mismo cateto con la hipotenusa, son iguales, entonces los 2 triángulos son iguales, ya que son iguales el seno, coseno, tangente, etc, de ese ángulo, y como el cateto tambien es igual, los otros 2 lados también deberán serlo. Por lo tanto queda demostrado que DP = DM
    Saludos

    La solución de Antonio Menguiano
    a) Los triángulos DMC y DAP son iguales por lo siguiente: los ángulos marcados de los dos triángulos son iguales por tener sus lados perpendiculares por construcción; los dos son rectángulos, por tanto son semejantes, y son iguales por tener el lado contiguo igual, ya que ambos son lados de un cuadrado.
    DM = DP por ser las hipotenusas de dos triángulos iguales. c. q. d.
    Otra forma de demostrarlo es por Thales:
    c.q.d

    b) Aplicando el teorema de la altura en el triángulo rectángulo PDN resulta:    a 2 = PA.AN
    Aplicando el teorema del cateto en el triángulo rectángulo PDN:  
    DN 2 = PN.AN   ;; DM 2 = PN7PA


     
      (#112) Relaciones sobre un cuadrado