(#115) DESDE DENTRO DE UN TRIÁGULO
Dentro del triángulo ABC, con lados a, b y c, se ha tomado el punto M desde el que se ven los lados del triángulo bajo igual ángulo. Hallar AM + BM + CM.

mano_dSolución de Carlos E. Muñico
Si giramos el segmento AO, 60º se tiene el AOO´ que es equilátero, pues isósceles AO = AO´ (radio de giro) y el ángulo en A = 60º ....
Si giramos a su vez el triangulo AOC, 60º con centro en A, obtendremos el AO´C´.
Los puntos BOO´C´ están alineados:
ángulo(BOO´) = ángulo(BOA) + ángulo(AOO´) =120º + 60º (condición de O + construcción)
ángulo(OO´C) = ángulo(OO´A) + ángulo(AO´C´) = 120º + 60º (construcción + condición de O)
y además el segmento BC es la suma buscada pues (OO´= AO por equilátero) y (OC =O´C por construcción)
Los ángulos OAC y O´AC´ son iguales (el giro conserva ángulos) como, ángulo(BAO + OAC) es el ángulo A del triángulo dato se sigue que ángulo (BAO + O´AC´) es el ángulo A del triangulo dato
Consideremos el triangulo BAC, se conocen 2 lados BA, AC´(= AC) y el ángulo comprendido BAC´ = A + 60º; (BAO + OAO´ + O´AC´)
Aplicando el teorama del coseno a esta situación:
siendo c = BA, b = AC y A el ángulo BAC del triángulo dado.

mano_dSolución de Carlos Á:lvarez Alberca
Desde M ha de verse cada uno de los lados bajo un ángulo de 120º
Por el teorema del coseno:
a 2 = BM 2 + CM 2 - 2BM.CM.cos120º = BM 2 + CM 2 + BM.CM
b 2 = AM 2 + CM 2 - 2AM.CM.cos120º = AM 2 + CM 2 + AM.CM
c 2 = AM 2 + BM 2 - 2AM.BM.cos120º = AM 2 + BM 2 + AM.BM
Sumadas las tres ecuaciones se obtiene:
a 2 + b 2 + c 2 = 2AM 2 + 2BM 2 + 2CM 2 + AM + BM + CM
Por otro lado:
2(AM + BM + CM) 2 = 2(AM 2 + BM 2 +CM 2) + 4(AM.BM + AM.CM + BM.CM) =
= a 2 + b 2 + c 2 + 3(AM.BM + AM.CM + BM.CM) (*)
Por la fórmula de Herón, el área del triángulo es:

(siendo p elsemiperímetro del triágulo)
A su vez el área del triángulo es la suma de las áreas de los triángulos AMB, BMC, CMA:

Con lo cual:
3 (AM.BM + AM.CM + BM.CM) =

que sustituyendo en (*) y operando da:
AM + BM + CM =

  Nota  Puede comprobarse que ambas expresiones son equivalentes a

sienso S el área del triángulo

 

  (#115) Desde dentro de un triángulo