(#116) UNA DE PENTÁGONOS
Construir un pentágono según los puntos medios prefijados de sus lados.

mano_dSolución
Supongamos los vértices A 1, A 2, A 3, A 5, A 5; sean los puntos medios M 1, M 2, M 3, M 4, M 5
Resolución vectorial
(Designaremos en negrita las magnitudes vectoriales)
  • Determinación de A 1 y A 2

  • M 1A 2 = 1/2 (A 1A 2) = 1/2 (A 1A 4 + A 4A 2) = 1/2 (A 1A 4) + 1/2 (A 4A 2) =
    = (por paralela media) = M 5M 4 + M 3M 2
    Quedando asi determinado A 2 y A 1 (sentido opuesto)
  • Determinación de A 3

  • M 2A 3 = 1/2 (A 2A 3) = 1/2 (A 2A 5 + A 5A 3) = 1/2 (A 2A 5) + 1/2 (A 5A 3) =
    = (por paralela media) = M 1M 5 + M 4M 3
    Quedando asi determinado A 3
  • Determinación de A 4

  • M 3A 4 = 1/2 (A 3A 4) = 1/2 (A 3A 1 + A 1A 4) = 1/2 (A 3A 1) + 1/2 (A 1A 4) =
    = (por paralela media) = M 2M 1 + M 5M 4
    Quedando asi determinado A 4
    De manera análoga se obtiene
    M 4M 5 = M 2M 1 + M 5M 4

      Solución de José Carrión 
    Sean M, N, P, Q, R los puntos medios de los lados. Llamemos a los vértices A, B, C, D, E.
    tomemos al azar el punto A (luego hay infinitas soluciones) y consideremos la composición de simetrias centrales
    SR*SQ*SP*SN*SM
    aplicada al punto A; llemémosla δ.
    En tonces será δ(A) = A
    Sea
    Sp*SN*SM(A) = ST(A)
    SR*SQ*ST(A) = SA(A)
    Se construyen los paralelogramos MNPT y TQRA y la construcción del pentágono es inmediata
    - jcb -

     
      (#116) Una de pentágonos